Лекция 4. Элементы нелинейного программирования.

З

(30)

адача составления оптимального портфеля ценных бумаг относится к задачам нелинейного программирования или иначе к задачам условной оптимизации, которые имеют в общем случае вид:

,

при условиях

(31)

(32)

То, что в (30) рассматривается задача на минимум, не ограничивает общность, так как задача на максимум легко сводится к задаче на минимум. Функция f(x) называется целевой функцией, а функции - функциями - ограничениями, а каждое равенство (31) или неравенство (32) просто ограничениями.

Если в (30)-(32) отсутствуют ограничения неравенства (32), то получаем простую задачу нелинейного программирования с ограничениями типа равенства:

,

при условиях

(33)

Решение этой задачи дается следующей теоремой о множителях Лагранжа.

Теорема о множителях Лагранжа.

Пусть функции f(x), _i(x), i=1,…,p - непрерывно дифференцируемы в Eⁿ и точка x^* удовлетворяет ограничениям (33) и система векторов {’_i(x^*)}, i=1,…,n - линейно - независима, тогда для того, чтобы эта точка была решением задачи необходимо существование таких чисел ^*_1,…, ^*_p, называемые множителями Лагранжа, что выполняется равенство:

(34)

Если в (30)-(32) отсутствуют ограничения типа равенства (31), то имеем основную задачу нелинейного программирования:

,

при условиях

(35)

Пусть x^* некоторая точка, удовлетворяющая неравенствам (35). Ограничения, которые в этой точке выполняются, как равенства будем называть активными. Обозначим через I(x^*) множество индексов, активных в точке x^* ограничений.

Решение задачи (35) основано на следующей теореме о необходимом условии первого порядка.

Теорема об обобщенных множителях Лагранжа.

Пусть x^* - решение основной задачи нелинейного программирования и

1. функции , i=1,…,m – дифференцируемые в Eⁿ,

2. градиенты активных в этой точке ограничений - линейно независимы,

тогда существуют числа , , называемые обобщенными множителями Лагранжа, что выполняются утверждения:

1⁰. , iI(x )

2

(36)

⁰.

Замечание 1. Необходимое условие для общей задачи нелинейного программирования (30)-(32) получается простым объединением приведенных выше теорем и поэтому здесь опускается.

Замечание 2. Для удобства использования теорем о множителях Лагранжа обычно вводят функцию Лагранжа

Положим ,если и тогда (34) или (36) примут вид:

Докажем одно вспомогательное неравенство, важное для решения задачи составления оптимального портфеля.

Л

(37)

емма 1. Для любой симметричной и положительно определенной матрицы и любых векторов x , y справедливо неравенство:

,

причем равенство возникает лишь при

y=kx ,

где k– некоторое число.

Доказательство.

Введем в рассмотрение функцию

: .

Так как, B – симметричная и положительно определенная матрица, то непосредственной проверкой показывается, что эта функция является скалярным произведением. Обозначим

норму, порожденную этим скалярным произведением.

Применяя к введенному скалярному произведению, неравенство Коши-Буняковского получаем:

Возводя обе части в квадрат, получаем неравенство (37).

Лемма доказана.

Лемма 2. Пусть V –симметричная, положительно определенная матрица, m - произвольный вектор, , тогда

(38)

,

причем тогда и только тогда, когда

Доказательство.

Положив и x=m, y=e получаем, что неравенство (38) эквивалентна неравенству (37), причем оно обращается в ноль лишь при m=ke, где k – некоторое число, но тогда

.

Лемма доказана.