2. Установившийся приток несжимаемой жидкости в однородном пласте к скважине, гидродинамически несовершенной по степени вскрытия

1) В отличие от совершенной скважины наша скважина вскрывает продуктивный пласт не на всю глубину, а на глубину b, поэтому она является несовершенной по степени вскрытия.

Для дебита гидродинамически несовершенной по степени вскрытия пласта скважины М. Маскет получил следующую формулу:

(2)

где:

- дебит скважины, м³/с

- коэффициент проницаемости пласта м²

- вскрытая толщина пласта, м

- приведенное давление на контуре пласта, Па

- приведенное давление на забое скважины, Па

- радиус контура кругового пласта, м

- радиус скважины, м

- вязкость, кг/м*с

- фильтрационное сопротивление, обусловленное несовершенством скважины (то есть добавка к фильтрационному сопротивлению совершенной скважины радиусом r_c)

Выражение дополнительного фильтрационного сопротивления получено И.А. Чарным с использованием формулы Маскета в виде:

(3)

Функция имеет следующее аналитическое выражение:

(4)

Здесь - интеграл Эйлера второго рода, называемый гамма-функцией, для которой имеются таблицы в математических справочниках.

Заметим, что если h_вск =1, т.е. пласт вскрыт на всю толщину, формула (2) переходит в формулу Дюпюи для плоскорадиального потока в круговом пласте.

2) Контурное давление и давление на скважине в статическом режиме равны:

;

где:

P_з0 – показание манометра в затрубном пространстве до начала эксплуатации;

– плотность жидкости;

- высота газа в затрубном пространстве до начала эксплуатации скважины;

После запуска скважины P_к необходимо поддерживать, а P_c изменяется по формуле:

,

При расчёте контурного и забойного давления и в дальнейших вычислениях, мы считаем длину скважины приблизительно равной глубине вскрытия пласта .

Расчеты и графики

1) Подставим все известные нам величины в уравнение Маскета и получим выражение для величины дебита скважины:

После вычислений получаем:

Запишем зависимость в виде P_c(Q):

Посчитаем отдельно значения

для разных h_вск = 0.1, 0.2, 0,3, 0.4, 0.6, 0,8, 0.9:

6.702, 5.196, 4.259, 3.546, 2.405, 1.351, 0.758;

Построим несколько графиков зависимости P_c (Q) для разных значений

h_вск = 0.1, 0.2, 0,3, 0.4, 0.6, 0,8, 0.9.

Q₁= _{0.00002235246590- 1.081062831* 10-12} P_c

Q₂= 0.0000656022282- 3.172810147*_10-12 P_c

Q₃= 0.0000822908958- 3.979946966*_10-12 P_c

Q₄= 0.0000962013495- 4.652717233*_10-12 P_c

Q₅= 0.0001182263464- 5.717942233*_10-12 P_c

Q₆= 0.0001342456690- 6.492706604*_10-12 P_c

Q₇= 0.0001400505151- 6.773454302*_10-12 P_c

Получаем следующую картинку:

График 1

“red” –> h_вск = 0.1

“brown ” –> h_вск = 0.2

“yellow” –> h_вск = 0.3

“green” –> h_вск = 0.4

“pink” –> h_вск = 0.6

“black” –> h_вск = 0.8

2) Теперь применим графоаналитический метод. Рассмотрим следующий диапазон значений Q [0.00001;0.0001].

Вычислим значения Re в этом диапазоне по формуле:

;

Re изменяется в диапазоне [54, 541], , значит имеем дело с ламинарным течением и λ вычисляется по формуле:

.

Получаем зависимость:

Выбор диапазона Q объясняется следующим образом. Следующая зона – зона гидравлически гладких труб – начинается со значения Q = 0.0008. Однако, по графику,

видим, что ещё до этого значения все функции принимают отрицательные значения и, следовательно, не могут иметь никаких общих точек с положительными функциями на интервале от 0.0008 и далее.

График 2

Строим совместный график:

График 3

По графику 3 определяем точки пересечения и строим функцию Получаем:

График 4

Эту зависимость на промежутке h_вск [0,1; 0,8] можно представить в виде следующего выражения:

Q(h_вск )= -0.1508311890*10^-4+0.1247992136*10^-3*x

3) Теперь найдём зависимость затрубного давления от степени вскрытия. Уравнение состояния совершенного газа (pv=const) в нашем случае принимает вид:

, откуда

.

Подставив это в формулу

,

получим следующее

.

Получаем:

По указанному выше набору находим по графику 3 Q. По полученным значениям Q по графику 1 определяем P_c (Таблица 2), с помощью которого вычисляем P_З (Таблица 3). По полученному набору точек строим функцию .

Эту зависимость на промежутке h_вск [0,1; 0,8] можно представить в виде следующего выражения:

P_з(h_вск) = 999472.6225+4145.935294*x.