10.2 Моделирование различных явлений методами теорией цепей

Математические модели представляют собой совокупность математических объектов: чисел, символов, множеств, уравнений и т. д. и связей между ними, описывающих физические, химические и другие процессы, происходящие в проектируемом объекте. При построении моделей-аналогов используется свойство изоморфизма, то есть одинаковости математического описания процессов различной физической природы. Например, взаимосвязи напряжения, индуктивности и скорости изменения тока во времени для электрической цепи; теплового потока, теплоёмкости и скорости изменения температуры во времени для тепловой системы; приложенной силы, массы тела и его ускорения для механической системы описываются одинаковыми математическими соотношениями. Используя свойство изоморфизма, можно с помощью одних объектов, в первую очередь электрических цепей, исследовать процессы в объектах другой физической природы: тепловых, механических, гидравлических и пр.

Для решения практических задач исследования и разработки многих ЭТУ и ЭМУС достаточно проводить их моделирование как систем с сосредоточенными параметрами. Поэтому целесообразно более подробно рассмотреть особенности построения математических моделей на макроуровне. Математические модели систем формируются с использованием математических моделей их элементов. Уравнения моделей элементов называются компонентными. Взаимосвязи элементов в системе задаются с помощью топологических уравнений.

Моделируемую техническую систему удобно представлять в виде совокупности физически однородных подсистем: электрических, тепловых, механических, гидравлических и др. Как правило, для описания состояния каждой такой подсистемы достаточно использовать фазовые переменные типов потенциала и тока. При этом компонентные уравнения связывают разнородные фазовые переменные, относящиеся к одному элементу, а топологические уравнения – однотипные фазовые переменные, относящиеся к разным элементам системы. В физически однородных подсистемах различаются элементы ёмкостного, индуктивного и резистивного типов, которым соответствуют следующие простейшие математические модели:

где C , L , R – параметры элементов.

Элементы подсистем в зависимости от числа однотипных фазовых переменных, входящих в модели элементов, разделяются на двухполюсники, характеризующиеся парой переменных типов u и i , взаимосвязь между которыми может быть как линейной, так и нелинейной, и многополюсники, представляющие собой объединение взаимосвязанных двухполюсников.

Наглядным способом графического отображения моделей систем с сосредоточенными параметрами является их представление в виде эквивалентных схем. Для электрических, магнитных, электронных, тепловых, механических, гидравлических и пневматических подсистем при известных связях функциональных элементов построение эквивалентной схемы состоит в замене этих элементов соответствующими двух- или многополюсниками и добавлении ветвей, учитывающих неидеальность элементов.

Наименования фазовых переменных и параметров простых элементов для различных физически однородных подсистем, характеризующие аналогию между ними, приведены в табл. 3.3.

Т а б л и ц а 3.3 - Соотношения аналогии переменных и параметров элементов

Подсистема	Фазовые переменные		Параметры элементов
	типа потенциала u	типа потока i	1.1.1.1.1C	1.1.1.1.2L	1.1.1.1.3R
Электрическая	Электрическое напряжение	Электрический ток	Электрическая ёмкость	Электрическая индуктивность	Электрическое сопротивление
Магнитная	Магнито-движущая сила	Магнитный поток			Магнитное сопротивление
Тепловая	Температура	Тепловой поток	Теплоёмкость		Тепловое сопротивление
Механическая поступа-тельная	Скорость	Сила	Масса	Гибкость	Механическое сопротивление
Механическая вращательная	Угловая скорость	Вращающий момент	Момент инерции	Вращательная гибкость	Вращательное сопротивление
Гидрав-лическая	Давление	Расход	Гидравлическая ёмкость	Гидравлическая индуктивность	Гидравлическое сопротивление
Пневма-тическая	Давление	Расход	Пневма-тическая ёмкость	Пневма-тическая индуктивность	Пневма-тическое сопротивление