2.3. Построение обводов

Обводом или интерполированием точек А₁, А₂, А₃,…, заданных на плоскости называется кривая последовательно составленная из дуг А₁А₂, А₂А₃,…и т.д. (рис. 28).

Рис. 28

Если указанные дуги имеют в точках стыка общие касательные, то обвод называется гладким и представляет собой коробовую линию (см. далее).

Коробовую линию можно составить из дуг окружностей. Такие линии находят широкое применение в технике, строительстве и архитектуре. Для построения циркульных коробовых кривых применяют радиус-графический способ.

Задача. Даны пять произвольных тт. А₁, А₂, А₃, А₄, А₅. Требуется выполнить их обвод дугами окружностей (рис. 29).

Рис. 29

Начальными параметрами, которые зададут форму всему обводу, будут либо направление касательной t₁ в точке А₁, либо радиус дуги А₁А₂ – радиус кривизны r₁.

1. Соединим заданные точки отрезками прямых в указанной

последовательности, а затем через середину каждого отрезка

восстановим к ним перпендикуляры – на них будут располагаться

центры дуг обвода – О₁, О₂, О₃, и О₄ .

2. Зададим касательную t¹  А₁.

3. Построим центр О₁ первой дуги с помощью нормали n: n А₁ → n t₁.

4. Центр О₂ следующей дуги А₂А₃ лежит на пересечении прямых n' и b.

Дальнейшие построения ведутся аналогичным образом и в той же последовательности. Форму обвода можно видоизменять, если изменять начальные параметры.

На рис. 30 дан пример построения поверхности вращения, которая в архитектурной практике носит название "маковки". Главный меридиан "маковки" складывается из четырёх составляющих ( из них три дуги окружности, образующие обвод первого порядка гладкости).

Рис. 30

3. Построение овалов

3.1. Основные задачи

Замкнутая кривая, образованная сопряжением циркульных кривых, называется овалом.

• Овалы с одной осью симметрии называются овоидами.

• Овалы с двумя осями симметрии называются коробовыми кривыми. Коробовые кривые часто используют в качестве замены эллипсу при построении аксонометрических изображений окружности.

Задача 1. Построить нормальный овоид заданного радиуса R (рис. 31).

1. Проводим из центра О окружность k радиуса R.

2. Тт. О₁ и О₂ соединяем с т. О₃ пересечения вертикальной оси и

окружности k.

3. Проводим из центров О₁ и О₂ дуги, радиуса R₂=2R до их

пересечения с прямыми m и n в точках 1 и 2.

3. Из центра О₃ проводим дугу радиуса R₃, замыкая овоид.

Построение остроконечного (рис. 32) и тупоконечного (рис. 33) овоида

заданного радиуса R аналогично построениям на рис. 31.

Рис. 31 Рис. 32 Рис. 33

Если привести форму данных овоидов в симметричную относительно ещё

и горизонтальной оси, они станут овалами. Ниже приводятся некоторые способы построения овала.

Задача 2. Построить овал (коробовую кривую) по заданной его оси АВ

(рис. 34).

1. Разделим АВ на 4 равные части: АО₁ = О₁О = ОО₂ = О₂В.

2. Из полученных точек О₁ и О₂ радиусом R делаем засечки, получая

таким образом центры О₃ и О₄.

3. Из центра О₁ радиусом R₁ проводим дугу до её пересечения с прямыми m

и m^' в точках 1 и 2. Аналогично находим тт. 3 и 4.

4. Дуги 1-3 и 2-4 проводим радиусом R₂ из центров О₃ и О₄.

Если заданную ось АВ разделить точками О₁ и О₂ на три равные части,

построение овала будет аналогичным (рис. 35).

Рис. 34 Рис. 35

Задача 3. Построить овал по двум его взаимно-перпендикулярным осям

АВ и СD (рис. 36).

Рис. 36

1. На вертикальной оси i с помощью дуги радиуса ОА строим т. Е

(ОА=ОЕ).

2. Соединим тт. А и С, и от т. С отложим на этой прямой отрезок КС=ЕС.

3. Через середину отрезка АК проводим перпендикуляр m и находим в

его пересечении с осями АВ и СD овала тт. О₁ и О₄, а затем и

симметричные им тт. О₂ и О₃.

Тогда О₁, О₂, О₃ и О₄ есть центры сопряжений, а 1, 2, 3 и 4 – точки стыка.

Задача 4. Построить овал по двум его осям, если малая ось СD втрое меньше большой l(А,В) (рис. 37).

1. Строим центры О₁ и О₂, откладывая на оси АВ от тт. А и В вправо и

влево отрезки, равные 1/12 l (используем для этого теорему Фалеса).

2. Строим центры О₃ и О₄, откладывая от т. О вверх и вниз отрезки, равные l.

3. Строим пары сопрягающихся дуг радиусами R и R' и в результате находим

точки стыка 1, 2, 3 и 4 ясно из чертежа.

Рис. 37

Задача 5. Построить овал по двум его осям АВ и СD (рис. 38).

1. На полуоси АО строим равносторонний треугольник АМО.

2. Радиусом R= ОС делаем засечку С' на стороне ОМ.

3. Соединяем С и С' и продолжаем эту прямую до пересечения со стороной

АМ в т. 1.

4. Через т. 1 проводим прямую m'║ОМ.

5. Прямая m' пересекается с осями АВ и СD в точках О₁ и О₄.

Рис. 38

6. Находим тт. О₂ и О₃, симметричные О₁ и О₄ осей овала и получаем, таким образом, четыре центра сопряжений для дуг с точками стыка 1, 2, 3 и 4.