1.6. Построение правильных многоугольников по заданной стороне

Задача деления окружности чаще всего используется для построения правильных многоугольников, которые широко используются в процессе архитектурного проектирования и художественного конструирования.

Практический интерес представляет решение задачи на построение правильных многоугольников по известной их стороне. Рассмотрим общий способ решения данной задачи.

Задача. Построить последовательный ряд правильных многоугольников по заданной их стороне АВ (рис. 19).

1. Из тт. А и В радиусом m описываем две дуги, которые пересекаются в т. С

(АВС – равносторонний треугольник).

2. Строим перпендикуляры из тт. А и В и в их пересечении с проведёнными

дугами находим тт. Е и К (АЕКВ – квадрат).

3. Диагональ ВЕ квадрата в пересечении с осью i даёт центр 1 окружности, в

которой сторона m уложится четыре раза.

4. Отрезок 1-3 делим пополам точкой 2.

5. Отрезок 2-3 откладываем последовательно от т. 3 по оси i, отмечая

последовательно точки 4,5,6,…n. Тогда полученные точки 1, 2, 3, 4, 5,…n

– центры окружностей, в которые впишутся соответственно правильные

квадрат, пятиугольник, шестиугольник, семиугольник и т.д.

Рис. 19

2. Построение сопряжений

2.1. Общие замечания

Сопряжением называют плавный переход от линии a к линии b посредством сопрягающей линии c (рис. 20).

Рис. 20

Точки А и В в которых одна линия плавно переходит в другую называют точками стыка или точками сопряжения. Сопряжение считается выполненным, если в точках стыка к сопрягающимся кривым можно провести общие касательные t_a и t_b. Через каждую точку стыка проходит нормаль n, перпендикулярная касательной.

В большинстве случаев приходится строить сопряжения, когда линии a и b являются прямыми или окружностями.

Для построения сопряжения должны быть известны три элемента:

1. радиус R сопрягающей дуги c;

2. одна из точек стыка (любая) А или В;

3. точка О – центр сопрягающей дуги с.

Заданием одного из этих элементов (любого) определяются остальные. На практике чаще всего задают либо радиус сопряжения, либо одну из точек стыка.

При решении задач на сопряжения полезно рассматривать прямые как окружности с бесконечно-большим радиусом, а точки – как окружности с бесконечно-малым радиусом.

2.2. Основные задачи

Задача 1. Построить сопряжение окружности a и прямой b посредством дуги с радиуса R (рис. 21).

1. Строим прямую b^', параллельную b и отстоящую от неё на расстояние R.

2. Строим окружность a^' концентрическую окружности a и отстоящую

от a на такое же расстояние R, т.е. радиус окружности a^' будет равен

r + R;

3. На пересечении линий b^' и a^' находим т. О₁, равноудалённую от

окружности a и прямой b, которая и есть искомый центр сопряжения.

4. Точку стыка А находим на пересечении окружности a c прямой ОО₁,

а точка В лежит в основании перпендикуляра, опущенного из центра О₁

на прямую b.

5. Строим сопрягающую дугу с из центра О₁.

6. Касательные, проведённые в точках стыка А и В, располагаются

соответственно t_a  ОО₁, а t_b ≡ b.

Рис. 21 Рис. 22

Для случая, когда линии a и b – окружности, а величина радиуса R едва превышает расстояние между окружностями (рис. 22), строим окружность а^' радиуса r_{1 +} R, концентрическую окружности а и окружность b^' радиуса r_{2 +} R, концентрическую окружности b. Окружности a ^' и b^' отстоят от соответствующих a и b на одинаковом расстоянии R. Такие линии называют эквидистантами (от лат. aequidistans — равноудалённый). Искомый центр О сопряжения лежит на пересечении a ^' и b^'. Дальнейшее – ясно из чертежа.

Задача 2. Построить сопряжение окружностей a и b посредством дуги с заданного радиуса R (рис. 23).

Рис. 23

1. Строим эквидистанты окружностей a и b с радиусами соответственно

R–r₁ и R–r₂.

2. В пересечении эквидистант находим центр О.

3. Проводим через О и центры О₁ и О₂ прямые и с их помощью находим

точки стыка А и В.

В отличие от рассмотренной задачи, когда известен радиус сопрягающей дуги, встречаются задачи, когда известной оказывается одна из точек стыка – А или В. В этом случае для построения сопряжения удобно использовать радикальную ось k, свойство которой состоит в том, что касательные, проведённые из любой её точки к двум неконцентрическим окружностям – равны. Иначе говоря, радикальная ось – это геометрическое место точек пересечения равных между собой касательных к двум окружностям.

На рис. 24 точки M и N радикальной оси k равноудалены соответственно от точек касания А, В, Н и Т , а также от точек С и D.

Если центры О₁, О₂ и О₃ трёх окружностей линейно независимы, то радикальные оси этих трёх окружностей, взятые попарно, проходят через одну точку М, называемую радикальным центром.

Если радикальный центр лежит вне каждой из трёх окружностей (рис. 24), то из него к данным окружностям можно провести равные касательные:

МА = МН = МТ = МВ (подробнее о радикальной оси см. (5)).

Рис. 24

Задача 2. Построить сопряжение окружности a и прямой b, если на окружности задана точка стыка А (рис. 25).

Один из искомых центров сопряжения должен лежать на прямой ОА₁.

1. Проведем касательную t_а к окружности в т. А.

2. Построим радикальный центр М: М = t_а∩b.

3. Из т. М проводим дугу радиуса МА₁ и находим с её помощью точки стыка

А₂  a и В  b.

4. Строим прямую n  В → n b. Нахождение центров сопряжения О₁ и О₂ на прямой n ясно из чертежа.

Рис. 25

Задача 3. Построить сопряжение окружности a и прямой b, на которой задана точка стыка В (рис. 26).

Рис. 26

1. Из т. В восставляем перпендикуляр n к прямой b.

2. Из произвольной т. N перпендикуляра n проводим окружность d радиуса R=NB.

3. Через точки 1 и 2 пересечения окружностей a и d проводим радикальную ось k.

4. Находим радикальный центр М: М= k ∩ b.

5. Из центра М проводим дугу радиуса МВ в пересечении которой с окружностью а найдем искомые точки стыка А₁ и А₂; прямые А₁О и А₂О пересекаются с прямой n соответственно в центрах сопряжения О₁ и О₂. Искомые дуги сопряжения – с₁ и с₂.

Задача 4. Построить сопряжение окружностей a и b, если задана точка стыка А a (рис. 27).

1. Проведём касательную t_a к окружности а в точке стыка А и, тем самым,

сведём данную задачу к задаче 2, т.е. будем строить сопряжение

окружности b и прямой t_a.

Рис. 27

Окружности с бесконечно-малым радиусом вырождаются в точки, и в этом случае задача на построение сопряжения переходит в задачу построения обводов точек.