1.4. Спрямление окружности
Задача 1. Спрямить дугу АВ окружности с известным центром О (рис. 7).
1. Соединим концы дуги и, тем самым, получим хорду АВ.
2. Через центр О дуги проведём прямую, перпендикулярную хорде.
3. На этой прямой от т. О отложим вправо отрезок ОЕ=2R и
полученную т. Е, соединим с концами дуги А и В.
4. Через т. С проведём к дуге касательную, параллельную АВ; на ней
продолжения прямых ЕА и ЕВ отсекут отрезок А' В', который с
достаточным приближением и будет равен длине дуги АВ.
Этот способ даёт минимальные погрешности при угле дуги φ<40○. Его в 15 в. предложил кардинал Николай Кузанский ( Nicolaus Cusanus).
Рис. 7
Задача 2. Спрямить полуокружность АВ (рис. 8).
1. Проведём в т. В касательную t к окружности и из центра О к диаметру АВ
проведём прямую m под углом φ=30○.
2. В пересечении прямых t и m находим т. Е.
3. От т. Е на касательной откладываем отрезок ЕD=3R, который
приближенно равен длине полуокружности АВ.
На рис. 9 аналогичная задача решена несколько иначе. Предлагается разобрать её самостоятельно, анализируя несложный чертёж.
Рис. 8 Рис. 9
Задача 3. Определить длину дуги МN, если центр её неизвестен (рис. 10).
1. Делим хорду МN на четыре равные части.
2. Одну четверть откладываем от т. N на дуге МN.
3. Найденную т. Е соединяем с точкой деления 1.
4. Удваивая отрезок Е1 до отрезка ЕК, получаем спрямлённую длину
дуги МN.
Рис. 10
1.5. Деление окружности на равные части
Задача деления окружности имеет широкие практические приложения в архитектуре, дизайне и декоративно-прикладном искусстве, не говоря уже о применении в технике (разбивка цилиндрических колонн каннелюрами, разметка поверхности сосудов для нанесения ритмического декоративного узора, расчёт зубчатых колёс и др.).
Задача 1. Разделить окружность пополам (рис. 11).
Всякий диаметр делит окружность пополам.
Задача 2. Разделить окружность на три равные части (рис. 12).
1. Из произвольной т. Е проводим дугу радиуса R равного радиусу
окружности и, находим точки А и С её пересечения с окружностью.
2. Радиусом R'=АС проводим дугу из т. С и намечаем на окружности т. В.
Дуги АВ=ВС=СА=1/3 k.
Задача 3. Два взаимно-перпендикулярных диаметра делят окружность на 4 равные части (рис. 13).
Рис. 11 Рис. 12 Рис. 13
Задача 4. Разделить окружность на 5 равных частей (рис. 14).
1. Строим два взаимно-перпендикулярных полудиаметра ТОNО.
2. Делим полудиаметр ОТ пополам точкой К: ОК=КТ.
3. Соединяем тт. К и N прямой и на ней дугой радиуса R'=ОК намечаем т. Е.
4. Из т. N проводим дугу радиуса R''=NE и намечаем ею на окружности тт. А
и С; между ними заключена 1/5 часть заданной окружности.
Задача 5. Разделить окружность k на 6 равных частей (рис. 15).
1. Из произвольной т. 1 окружности радиуса R проводим дугу того же
радиуса и с её помощью намечаем на окружности тт. 2 и 6. Дуга,
заключённая между точками 1 и 2 или 1 и 6 равна 1/6 окружности.
Нахождение остальных точек понятно из чертежа.
Задача 6. Разделить окружность на 7 равных частей (рис. 16).
1. Из произвольной т. К окружности проводим дугу ВК=R.
2. Хорду ВЕ делим пополам точкой Р.
3. Из т. В проводим дугу радиуса R' и находим т. С на окружности.
Полученная дуга ВС равна 1/7 окружности.
Рис. 14 Рис. 15 Рис. 16
Задача 7. Разделить окружность на n равных частей и пусть n = 9. (рис. 17).
1. Делим диаметр АВ на 9 равных частей.
2. Из тт. А и В, как из центров, проводим дуги радиуса АВ до их взаимного
пересечения в т. М.
3. Проводим из т. М лучи через чётные (или нечётные) точки деления
диаметра АВ.
4. Пересечение с окружностью дают искомые точки деления: дуга,
заключённая между точками А и С есть 1/9 часть окружности.
Эту же задачу можно решить, используя другой прием (рис. 18):
1. Делим радиус ОЕ на 6 равных частей.
2. Из т. Е как из центра проводим дугу m радиусом R' равным 5/6 ОЕ.
3. Дуга m пересечёт окружность k в т. F; дуга EF равна 1/9 окружности.
Рис. 17 Рис. 18