4.3. Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Задать окружность и вписать в неё девять равных касательных

окружностей.

Задача 2. Восстановить все построения, которые позволили вписать в

заданную окружность 7 равных касательных окружностей

(рис. 63).

Задача 3. Восстановить все построения, которые позволили вписать в

заданную окружность четыре равные касательные окружности

одного радиуса и три равные касательные окружности другого

радиуса (рис. 64).

Рис. 63 Рис. 64

Задача 4. В заданную фигуру, образованную пересекающимися дугами

двух равных заданных окружностей вписать не менее трёх

(пяти) равных касательных окружностей (рис. 65);

Рис. 65

Задача 5. Задать окружность k и описать около неё четыре равные

касательные окружности.

Раздел 2

5. Построение орнаментальных композиций

5.1. Общие замечания

Конструирование и начертание орнаментов есть вид графического искусства,

имеющий важное значение для развития конструктивных и художественно-графических навыков будущих архитекторов и дизайнеров. Творческие способности в процессе начертания орнамента получают стимулы для дальнейшего роста.

В основе орнаментального узора на плоскости лежит ритмическая

упорядоченность геометрических элементов, основанная на симметрии. Симметрия – свойство геометрической фигуры, характеризующее некоторую правильность и неизменность её формы при движении и зеркальных отражениях, называемых преобразованиями плоскости.

К классическим преобразованиям на плоскости относятся:

• зеркальная симметрия, когда каждая т. M плоскости переходит в т. M '

относительно некоторой прямой a – оси симметрии, – которая может

быть уподоблена некоторому идеальному зеркалу в плоскости. Тогда

отрезок MM ' (M ' – отражение т. М) перпендикулярен прямой a

и делится ею пополам (рис. 66);

• поворотная симметрия, когда каждая т. N плоскости переходит в т. N ' путём поворота на определённый угол около воображаемой оси i, проходящей через центр О и перпендикулярной плоскости, в которой осуществляется поворот (рис. 67). В данном случае угол поворота

φ = 90^○;

• центральная симметрия (инверсия), когда каждая т. L плоскости переходит в т. L ' относительно некоторой точки С – центра симметрии таким образом, что LС ═ СL', при условии, что точки L, С, L' – коллинейны, т.е. лежат на одной прямой (рис. 68); идеальным примером центрально-симметричной фигуры на плоскости является окружность, (в пространстве – сфера);

• трансляция (перенос), когда каждая т. F повторяется на плоскости через определённое расстояние и в определённом направлении, образуя ритмическую последовательность. Трансляции порождают одномерный узор (рис. 69 а). Паркетные полы, узоры на обоях, кружевные ленты, дорожки, вымощенные плиткой, обладают неодномерной трансляционной (ковровой) симметрией в том смысле, что их образуют узоры, не имеющие собственных границ (рис. 69 b).

Рис. 66 Рис. 67 Рис. 68

a) b)

Рис. 69

В искусстве симметрия получила распространение как одно из средств построения гармоничной композиции. В традиционной и современной культуре она присуща, как произведениям архитектуры и декоративно-прикладного искусства, так и произведениям изобразительного искусства и графического дизайна. В архитектуре симметрия используется в качестве основного приёма при построении различных декоративных элементов. Например, в Древней Греции – это капители(а), антефиксы (b), бордюры (в) и др. (рис. 70), или в готической архитектуре – это вимперги (a), трифолии (b), квадрифолии (в) и др. (рис. 71).

а) b) в)

Рис. 70

а) b) в)

Рис. 71

Кроме того, различные виды симметрии используются при создании различных знаков – товарных, информационных, манипуляционных, логотипов и т.д. (рис. 72 а-г).

а) b) в) г)

Рис. 72

Комбинации симметрий, порождённые зеркальными отражениями, вращениями и переносами, являются предметом исследования в различных областях естествознания. Например, винтовая симметрия, осуществляемая поворотом на некоторый угол около оси, дополненным переносом вдоль той же оси, наблюдается в расположении листьев у растений и потому изучается в ботанике. Геральдика – это ещё одна область семантики и художественного конструирования, в которой широко проявляются идеи симметрии.