Распределение Пуассона

Пусть проводится серия n независимых испытаний. (n₁, n₂ …) Причём вероятность появления данного события А в этой серии равно Р(А) = р_n > 0. Эта вероятность зависит от номера и стремится к нулю при n -> ∞. (Последовательность «редких событий»).

Предположим, что для каждой серии среднее значение числа появлений события А постоянно, т.е. произведение n* р_n = const = µ, отсюда р_n = µ/n.

На основании ф-лы Бернулли для вероятности появления события А n-ной серии ровно m раз имеет место формула: Р_n(m) = С_n^m* р_n^m*q^n-m = С_n^m* р_n^m*(1-р_n)^n-m.

Закрепим m (зафиксируем). Переменная остаётся только n. Перейдём к пределу формулы:

Lim (С_n^m* р_n^m*(1-р_n)^n-m), n -> ∞ = Lim (С_n^m* р_n^m)*Lim(*(1-р_n)^n-m), n -> ∞

lim (С_n^m* (µ/n)^m = lim (А_n^m/P_n*(µ/n)^m = lim (n*(n-1)*… *(n- (m-1)) *µ^m /(m*n^m )=

= lim (1(1-1/n)(1-2/n)…(1-(m-1)/n) = µ^m/m!

Lim(*(1-р_n)^n-m) = lim {[(1-µ/n) ^-n/µ]^{- µ} (1- µ/n)^-m} = e^{- µ}*1 = e^{- µ}

В итоге: Lim (С_n^m* р_n^m*(1-р_n)^n-m) = µ^m e^{- µ}/m!

Р_n(m) = µ^m e^{- µ}/m!

Def: Говорят, что случайная величина Х распределена по закону Пуассона, если эта величина задана таблицей:

Х	0	1	2	3	…
Р	e- µ

Лекция 22.03.2013

Найдём сумму вероятностей данной таблицы:

e^{- µ} + µ e^{- µ} + µ²(e^{- µ})/2! + … = e^{- µ} (1+ µ + µ²/2!+…) = e^{- µ}* e^µ = 1

Найдём математическое ожидание дискретной случайной величины Х, распределённой по закону Пуассона:

Согласно определению математического ожидания, для случая бесконечного числа возможных значений случайной величины имеем: М(Х) = (k µ^k e^{- µ} /k!) = µ* e^{- µ} µ^k-1/(k-1)!

Это ряд типа: 1 + µ²/2! + µ³/3! + …. = e^µ , значит, выражение имеет вид: µ* e^{- µ} e^µ = µ.

Аналогично доказывается, что дисперсия случайной величины, распределённой по закону Пуассона, т.е D(X) = µ.

Итак, М(Х) = D(X) = µ для д.с.в., распр. По закону Пуассона.

Задача (Редкие болезни)

Многие болезни достаточно редки, или становятся таковыми после принятия профилактических лечебных мер. Однако, даже при самых благоприятных условиях, в больших популяциях всё же встречается некоторое число больных редкими болезнями, например: при введении вакцины против Полиомиелита иммунитет становится 99,99% случаев. Какова вероятность того, что из 10000 вакцинированных детей заболеет один?

Р_n(m) = µ^m e^{- µ}/m! Р₁₀₀₀₀ (1) = e^{- 1} ≈ 0, 368

Р = 1 – 0.9999

n = 10000

Р*n = µ : 0.0001*10000 = 1 = µ

Какова вероятность для двоих?

Р₁₀₀₀₀ (2) = 1²* e^{- 1} /2! ≈ 0.184

Какова вероятность для троих?

Р₁₀₀₀₀ (2) = 1³* e^{- 1} /3! ≈ 0.061

­­­­­­­­­­­

Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения.

Для непрерывных случайных величин, в отличие от дискретных, нельзя построить таблицу распределения. Поэтому они изучаются другим способом.

Пусть Х – непрерывная случайная величина с возможными значениями из некоторого интервала [a;b], х – действительное число. Под выражением: Х < x понимается событие «Случайная величина Х приняла значение, меньшее х». Вероятность этого события обозначается: Р(Х<x) и это есть некоторая функция переменной х: F(x) = Р(Х<x).

Def: Интегральной функцией распределения, или функцией распределения, непрерывной случайной величины Х называется функция F(x), равная вероятности того, что Х приняло значение, меньшее х: F(X<x).

Отметим, что функция распределения совершенно так же определяется и для дискретных случайных величин.

Укажем на свойства, которыми обладает функция F(x):

1. 0 ≤ F(x) ≤ 1 (Т.к. F(x) – вероятность)

2. F(x) – неубывающая функция, т.е. если х₁ < x₂, то F(x₁) ≤ F(x₂)

Доказательство: Предположим, что х₁ > x₂ Событие «Х примет значение, меньшее х₂» можно представить в виде суммы двух несовместимых событий: «Х примет значение, меньшее х₁» и « Х примет значение, удовлетворяющее двойному неравенству: х₁ ≤ Х ≤ х₂».

Обозначим Вероятности двух этих событий соответственно через: Р(Х<x₁) и Р(х₁ ≤ Х ≤ х₂).

По теореме «о вероятности суммы двух несовместимых событий», имеем:

Р(Х<x₂) = Р(Х<x₁) + Р(х₁ ≤ Х ≤ х₂), отсюда:

Р(х₁ ≤ Х ≤ х₂) = Р(Х<x₂) - Р(Х<x₁) или:

Р(х₁ ≤ Х ≤ х₂) = F(x₂) – F(x₁) учитывая, что вероятность не отрицательна, получаем:

F(x₂) – F(x₁) ≥ 0, Что и приводит к заключению свойства. (Ч.т.д)

Из этого свойства вытекает следующее:

3. Вероятность попадания случайной величины Х в полуинтервал [a;b) равна разности между значениями функции распределения в правом и левом концах интервала [a;b).

Т.е. Р(а≤Х≤b) = F(b) – F(a)

В частности, для полуинтервала [x; x+dx): Р(x ≤ X ≤ x+dx) = F(x+dx) – F(x).

В дальнейшем случайную величину будем называть непрерывной, если её функция распределения непрерывна с непрерывной или кусочно-непрерывной производной.

4. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет какое-либо заранее заданное значение равняется нулю, т.е. Р(Х = х₁) = 0, где х₁ – произвольное, фиксированное.

В силу равенства: Р(x ≤ X ≤ x+dx) = F(x+dx) – F(x) (см. св-во 3) имеем: Р(х₁≤Х≤х₁+dx) = F(х₁+dx) – F(x₁). Поскольку функция F(x) непрерывная, то, перейдя к пределу при dx -> 0, получаем искомое равенство: 0 = Р(Х = х₁).

Из последнего свойства вытекает пятое:

5. Вероятности попадания непрерывной случайной величины в интервал, отрезок и полусегмент (полуинтервал) с одними и теми же концами – равны:

Р(a < Х < b) = Р(a ≤ Х ≤ b) = Р(a ≤ Х < b) = Р(a < Х ≤ b)

6. Если возможное значение случайной величины Х принадлежат интервалу [a;b], то:

а) F(x) = 0 для x ≤ a

б) для x ≥ b F(x) = 1.

Доказательство:

а) Пусть х₁≤ a. Тогда событие Х<x₁ невозможно, значит, вероятность равна 0.

б) Пусть x₂ ≥ b – это достоверное событие, - вероятность 1. (Ч.т.д).

Следствие: Если возможные значения непрерывной случайной величины распределены на всей числовой оси, то справедливы следующие предельные соотношения:

F(-∞) = lim (F(x)), (при х -> - ∞) = 0

F(+∞) = lim (F(x)), (при х -> +∞) = 1

Семинар:

Задача 1) Х задана ф-ей: F(x) = { 0, при x ≤ -1 ; х/4+ ¼ при х от -1 до 3, и 1, при х > 3. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее полуинтервалу: [0; 2).

Р(0 ≤ X < 2) = F(2) – F(0) = ½ - 0 = ½

Задача 2) Пусть с.в. Х – число очков, выпавших при однократном бросании кости. Найти закон распределения с.в. Х.