Свойства дисперсии дискретной случайной величины

1. Дисперсия дискретной случайной величины Х равна разности между математическим ожиданием квадрата величины Х и квадратом её математического ожидания:

D(X) = M(X²) – M²(X)

Доказательство: имеем: D(X) = M[(X – M(X))²] = M[X² – 2XM(X) + M²(X)] = M(X²) – M(2XM(X) + M(M(X²) = M(X²) – 2M²(X) + M²(X) = M(X²) – M²(X).

C помощь этого свойства доказывается второе:

2. Дисперсия постоянной величины С равна нулю.

D(C) = M(C²) – M²(C) = 0

3. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат:

D(CX) = C²D(X)

Доказательство: воспользуемся первым свойством D(CX) = C^2*M(C^2) – C^2*M²(X) = C²M(X² /. . ..

4. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин Х и Y равна сумме дисперсии этих величин: D(X+Y) = D(X) + D(Y)

Доказательство: Используем первое свойство дисперсии, имеем:

D(X+Y) = M[(X+Y)²] – M²(X+Y) = M(X^2+2XY+Y^2) – M^2(X+Y) = M(X^2) + 2M(X)*M(Y) + M(Y^2) – (M(X+Y))^2 = M(X^2) + 2M(X)*M(Y) + M(Y^2) – (M²(X) – 2M(X)M(Y) – M²(Y)) = D(X)+D(Y)

Лекция 15.03.2013

5. Дисперсия разности двух независимых случайных величин Х и Y равна СУММЕ их дисперсий:

D(X-Y) = D(X) + D(Y)

Действительно, D(X-Y) = D[X + (-Y)] и применим предудущее свойство = D(X) + D(-Y) = (постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя в квадрат) = D(X) + (-1)²+ D(Y). Ч.т.д.

NB: методом математической индукции свойство 4) остаётся в силе и для любого конечного числа слагаемых.

NB: Если множество возможных значений дискретной случайной величины Х бесконечно, то её дисперсия определяется суммой сходящегося числового ряда:

D(X) = ∑ (i=1; ∞)[x_i – M(X)]²*P_i

Среднее квадратическое отклонение

Def: Средним квадратическим отклонением Ḉ(Х) = (D(X))^1/2

Понятие о начальном моменте

Def: Начальным моментом порядка k случайной величины Х называется математическое ожидание Х^k, где k – натуральное число. Обозначается буквой «ню» с индексом k.

γ_k = М(Х)^k, при k = 1 это будет математическое ожидание

По 1 свойству дисперсии D(X) = M(X)² – M²(X)= γ ₂- γ ₁²

Понятие о центральном моменте

Def: Центральным моментом порядка k сулчайной величины X называется математическое ожидание случайной величины [X – M(X)]^k и обозначается µ _k

µ ₁ = 0, µ ₂ = D(X) = γ ₂- γ ₁²

Основные законы распределения дискретных случайных величин

Биномиальное распределение

Пусть осуществляется n испытаний, причём вероятность появления события А в каждом испытании равна p, и не зависит от исхода других испытаний. (Независимые испытания)

Такая последовательность испытаний называется схемой Бернулли.

Поскольку вероятность наступления события А в одном испытании равна р, то вероятность его ненаступления, а это противоположное событие, равна (1 – p) = q

Найдём вероятность того, что при n испытаниях событие А наступит m раз (m<n)

Пусть событие А наступило в первых m испытаниях и не наступило во всех последующих испытаниях (n – m). Это сложное событие можно записать в виде произведения:

АА…А*А^_ А^_... А^_ - где А – m штук, А с чертой – n-m раз, общее число сложных событий, в которых событие А наступает m раз равно числу сочетаний из n элементов по m С_n^m. При этом вероятность каждого сложного события оказывается равных р^m*q^n-m. Поскольку указанные сложные события являются несовместимыми, то вероятность их суммы равна сумме их вероятностей. Обозначим вероятность появления события А m раз в n испытаниях Р_n(m) = С_n^m* р^m*q^n-m = (n!/m!*(n-m)!)* р^m*q^n-m

Рассмотрим далее n независимых испытаний, в каждом из которых событие А наступает с вероятностью Р. Обозначим через Х случайную величину, равную числу появлений события А в n испытаниях. Очевидно, что событие А может вообще не наступить, может наступить один, два и т.д. раз, и может наступить n раз. Следовательно, возможными значениями величины Х будут числа 0, 1, 2, … n.

Найдём вероятности всех возможных событий по формуле Р_n(m) = С_n^m* р^m*q^n-m,

Возьмём n = 0: Р_n(0) = С_n⁰* р⁰*q^n-0 = qⁿ

Возьмём n =1: Р_n(1) = С_n¹ р¹*q^n-1

X	0	1	2	…	m	…	n
P	qn	Сn1 р1*qn-1	Сn2 р2*qn-2		Сnm рm*qn-m		pn

Построенный закон распределения дискретной случайной величины Х называется законом биномиального коэффициента

Найдём математическое ожидание М(Х) для биномиального распределения:

Очевидно, что Х_i – число появлений события А в каждом испытании – представляет собой случайную величину со следующим распределением:

Хi	0	1
Рi	q	p

M(X_i) = 0*q + 1*p = Р_i

Но, т.к. Х = Х1+Х2+…Хn, то М(Х) = n*p

Найдём дисперсию D(X):

Хi2	02	12
Рi	q	p

D(X_i) = M(X_i)² – M²(X_i) = p(1-p) = pq

Значит, дисперсия для всех Х равна npq, а среднее значение Ḉ(Х) = (npq)^1/2