Дисперсия дискретной случайной величины. Понятие Дисперсия.

Математическое ожидание не даёт полной характеристики закона распределения случайной величины, что видно из следующего примера:

Пусть заданы две дискретные случайные величины Х, Y своими законами распределения.

Х	-2	0	2
Р(Х)	0.4	0.2	0.4
Y	-100	0	100
Р(Y)	0.3	0.4	0.3

Посчитаем математическое ожидание М(Х)= -2*0.4+0*0.2+2*0.4 = 0,

М(Y)=-100*0.3+0*0.4+100*0.3=0

Несмотря на то, что математические ожидания величин Х, Y одинаковы возможные значения этих величин «разбросаны» или «рассеяны» около своих математических ожиданий по-разному. Возможные значения величины Х расположены гораздо ближе к своему математическому ожиданию, чем возможные значения случайной величины Y, хотя математические ожидания одинаковы.

Отсюда возникает необходимость введения новой числовой характеристики случайной величины, по которой можно было бы судить о «рассеянии» возможных значений этой случайной величины.

Пусть задана дискретная случайная величина Х:

Х	х1	х2	…	хn
Р(Х)	Р1	Р2	…	Рn

Def: отклонением случайной величины Х от её математического ожидания М(Х) (или просто отклонением) называется случайная величина Х – М(Х).

Из определения отклонения видно, что для того, чтобы отклонение Х приняло значение х₁ – М(Х) достаточно, чтобы случайная величина Х приняла значение х₁. Вероятность же этого значения равна Р₁ значит, и вероятность того, чтобы отклонение случайной величины Х – М(Х) приняло значение х₁ – М(Х) также равна Р₁. Так же обстоит дело и для остальных возможных значений отклонения случайной величины Х. Отсюда, закон распределения отклонения случайно величины Х примет следующий вид:

Х– М(Х)	х1-М(Х)	х2-М(Х)	…	хn-М(Х)
Р(Х)	Р1	Р2	…	Рn

Вычислим теперь математическое ожидание отклонения Х-М(Х): имеем М[Х-М(Х)] =

= М(Х) – М(М(Х)) = 0.

Тем самым, пришли (доказали) к следующей теореме:

Терема: Математическое ожидание отклонения Х -М(Х) = 0, т.е. М[X-M(X)] = 0.

Из полученной теоремы видно, что с помощью отклонения не удаётся определить среднее отклонение возможных значений величины Х от её математического ожидания, т.е. оценить степень рассеяния величины Х. Это объясняется взаимным погашением положительных и отрицательных возможных значений самого отклонения. Однако, можно освободиться от этого недостатка если рассматривать квадрат отклонения случайной величины Х, т.е. если рассматривать случайную величину: [X -М(Х)]² те же рассуждения, что и в случае самого отклонения позволяют записать следующую таблицу:

Х– М(Х)	(х1-М(Х))^2	(х2-М(Х) )^2	…	(хn-М(Х) )^2
Р(Х)	Р1	Р2	…	Рn

Def: Дисперсией D(X) дискретной случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины Х от её математического ожидания:

D(X) = M[(X – M(X))²]

Из закона распределения случайной величины [(X – M(X))²] следует, что

D(X) = [x₁ – M(X)]²*P₁ + [x₂ – M(X)]²*P₂ + … + [x_n – M(X)]²*P_n &&&&