Лекция 01.03.13 Свойства математического ожидания дискретной случайной величины.

3. Математическое ожидание суммы двух случайных величин Х, У равно сумме их математических ожиданий:

N(X+Y)= M(X)+M(Y)

Доказательство: пусть Х,У имеют следующие законы распределения:

Х	х1	х2	х3	х4	х5	х6	х7	х8	х9
Р(Х)	P1	P2	P3	P4	…
Y	y1	y2	y3	y4	y5	y6	y7	y8	y9
Р(Y)	q1	q2	q3	q4	…

Для упрощения доказательства ограничимся двумя возможными значениями каждой из случайных величин Х, Y. (В общем случае доказательство аналогично)

Составим все возможные значения величины Х + Y, для этого к каждому возможному значению случайной величины Х прибавим каждое возможное значение случайной величины Y:

Х+Y	х1+y1	х1+y2	x2+y1	х2+y2
Р(Х+Y)	P11	P12	P21	P22

Вероятности значений обозначим Р₁₁, Р₁₂, Р₂₁, Р₂₂. Докажем, что Р₁₁+ Р₁₂ = Р₁

Событие, состоящее в том, что Х примет значение х₁ (его вероятность равна Р₁) влечёт за собой события состоящее в том, что Х+Y примет значения х₁+у₁ или х₁+у₂ Вероятность этого события, по теореме сложения вероятностей для несовместимых событий равна Р₁₁+ Р₁₂, поэтому Р₁₁+ Р₁₂= Р₁.

Также доказывается, что Р₁₁+ Р₂₁= q₁, Р₂₁+ Р₁₂ = Р₂, Р₁₂+ Р₂₂ = q₂. Дальше согласно формуле математического ожидания:

M(X+Y) = (x₁+y₁)P₁+(x₁+y₂)P₁₂+(x₂+y₁)P₂₁+(x₂+y₂)P₂₂. Раскроем эти скобки, и будем собирать подобные:

M(X+Y) = x₁(P₁+ P₁₂) + х2(Р1+Р21+Р22)+ … = х1*Р1+х2*Р2+y1*q1+y2*q2

Def: случайные величины Х, Y называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое возможное значение приняла другая случайная величина. Несколько случайных величин называются независимыми, если закон распределения любой из них не зависит от того, какие возможные значения приняли остальные случайные величины.

4. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин Х, Y равно произведению их математических ожиданий

Доказательство – аналогично доказательству свойства 3).

5. Математическое ожидание разности двух случайных величин Х, Y равно разности их математических ожиданий.

Доказательство: Имеем: М(Х-Y) = М[X+(-Y)] = по 3 св-ву = М(Х) + М(-Y)= М(Х) – 1*М(Y).

Примечание: Свойства 3), 4) имеют место и для любого конечного числа случайных величин.

Примечание2: Если множества возможных значений дискретной случайной величины Х бесконечно, то математическое ожидание М(Х) определяется суммой числового ряда:

М(Х) = от 1 до ∞ (х к-тое*Р_k), при условии, что этот ряд сходится абсолютно. Перечисленные свойства математического ожидания остаются в силе и в этом случае.