Лекция 22.02.2013 Формулы полной вероятности

Теорема: Вероятность события А, которое может наступить лишь попарно несовместимых событий В₁, В₂, …В_n, образующих полную группу равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

Р(А) = Р(В₁)*Р_B1(А) + Р(В₂)*Р_В2(А) + … + Р(В_n)*Р_n(А)

События В₁, В₂, …В_n называются гипотезами для события А.

Доказательство:

Событие А может наступить лишь при условии наступления одного из событий В₁, В₂, …В_n , т.е.

А = В₁*А+В₂*А+…+B_n*А, причём ввиду несовместимости событий В₁, В₂, …В_n события В₁А, В₂А, …В_nА поэтому, на основании теорем сложения и умножения вероятностей имеем:

Р(А) = Р(В₁*А) + Р(В₂*А) + … + Р(В_n*А) = Р(В₁)*Р_В1(А) + … + Р(В_n)*Р_Вn(А)

Формулы Байеса.

Пусть в условиях рассуждения, относящегося к формуле полной вероятности, произведено одно испытание, в результате которого произошло событие А. Спрашивается: как изменились, в связи с тем, что событие А уже произошло, вероятности гипотез.

Найдём условную вероятность Р(В_ка): по теореме об умножении вероятностей имеем, что Р(А* В_ка) = Р_A(В_к*А) = Р(В_к)*Р(А_Bk). Отсюда Р_A (В_к)= (Р(В_к)*Р(А_Bk))/Р(А) = [по формуле полной вероятности]

Р_A(В_к)= (Р(В_к)*Р_Bk (А))/ Р(В₁)*Р_В1(А) + … + Р(В_n)*Р_Вn(А)

Случайные величины. Дискретные и случайные величины. Понятие случайной величины.

Def: Случайной величиной называется переменная величина, которая, в зависимости от исхода испытания, случайно принимает одно значение из множества возможных значений.

Примеры: 1)Число очков, выпавших при однократном бросании игральной кости, есть случайная величина. Она может принимать значения от 1 до 6.

2) Прирост веса домашнего животного за месяц. Есть случайная величина, которая может иметь значения из некоторого числового промежутка. Случайные величины обозначаются прописными буквами (большими) латинского алфавита из конца, а их возможные значения – маленькими буквами (строчными): x, y, z. Например: если случайная величина Х имеет три возможных значения, то они будут обозначены так x₁, х₂, х₃

Случайная величина, принимающая различные значения, которые можно записать в виде конечной или бесконечной последовательности.

Будем рассматривать дискретные случайные величины, множество допустимых значений которых конечно.

Def: случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого числового промежутка называется непрерывной случайной величиной.

Def: под суммой случайных величин Х и Y понимают случайную величину Z, равное Х+Y, возможные значения которой состоят из сумм каждого возможного значения величины Х и каждого возможного значения величины Y.

Def: Под произведением случайных величин X и Y понимают случайную величину Z, равное XY, возможные значения которой состоят из каждого возможного значения величины Х и каждого возможного значения величины Y.

Закон распределения дискретной случайной величины

Рассмотрим дискретную случайную величину Х с конечным множеством возможных значений. Величина Х считается заданной, если перечислены все её возможные значения, а так же вероятности, с которыми величина Х может принять эти значения. Указанный перечень всех её возможных значений и их вероятностей называется Законом распределения дискретной случайной величины. Закон распределения дискретной случайной величины может быть задан с помощью таблицы.

Х	х1	х2	х3	х4	х5	х6	х7	х8	х9
Р(Х)	P1	P2	P3	P4	…

В верхней строке выписываются все возможные значения х₁, х₂, … х_n величины Х. В нижней строке выписываются вероятности Р₁, Р₂, … Р_n значений х₁, х₂, … х_n.

Поскольку событие Х = х_i (I = 1, 2,…n) образуют полную группу несовместимых событий, то Р₁ + Р₂ + … + Р_n = 1.