Теорема умножения вероятностей

Определение: Два события А и В называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое событие, или нет. В противном случае, события А и В называются зависимыми.

Пример: пусть в урне находятся 2 белых и 2 чёрных шара. Пусть событие А – вынуть белый шар. Вероятность этого события равна ½. После первого испытания вынутый шар кладётся обратно в урну. Шары перемешиваются, и снова вынимается шар. Событие В – во втором испытании вынуть белый шар. Вероятность этого события тоже равна ½. Т.е. события А и В независимы.

Предположим теперь, что вынутый в первом испытании шар не кладётся обратно в урну. Тогда, если произошло событие А, то есть в первом испытании вынут белый шар, то вероятность событий В уменьшается: Р(В)=1/3. Если же в первом испытании был вынут чёрный шар, то вероятность события В увеличивается: Р(В)=2/3. Таким образом, вероятность события В существенно зависит от того, произошло или не произошло событие А. Т.е. события А и В – зависимы.

Определение: Пусть А и В – зависимые события. Условной вероятностью Ра (В) (а – индекс) события В называется вероятность события В, найденное в предположении, что событие А уже наступило.

В Примере Ра(В)=1/3.

Теорема: Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятностей одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что событие А уже наступило: Р(АВ) = Р(А)*Ра(В)

Доказательство:

Пусть из всего числа n элементарных событий k событий благоприятствуют событию А, и пусть из этих k событий l событий благоприятствуют событию В. Значит, l событий благоприятствуют событию (AB). Тогда, по классическому определению вероятности, Р(АВ)= l/n = k/n*l/k = P(A)*Pа (B). Ч.т.д.

Определение: несколько событий А1, А2, … Аk называются независимыми в совокупности, или просто независимыми, если вероятность появления любого из них не зависит от того, произошли ли какие-либо другие рассматриваемые события или нет.

Замечание: Применим формулу: Р(АВ) = Р(А)*Ра(В) [1]к событию Ва:

Получим: Р(Ва)=Рb(А) [2]

Сравнивая формулы [1] [2] получаем: Р(А)*Ра(В)=Р(В)*Рb(А)

Теорема: вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий.

Отметим, что если события А и В независимы, то условная вероятность равняется обычной вероятности. Поэтому формула [1] превращается в формулу Р(АВ)=Р(А)*Р(В). Ч.т.д.

Теорема о сложении вероятностей совместимых событий

Теорема: Вероятность суммы двух совместимых событий А и В равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения:

Р(А+В)= Р(А)+Р(В) - Р(АВ).

Доказательство:

Пусть из всего числа n элементарных событий k событий благоприятствуют событию А, l событий благоприятствуют событию В, и m событий благоприятствуют одновременно и событию А, и событию В. Тогда событию (А+В) будут благоприятствовать k+l –m элементарных событий, и, значит, будем иметь:

Р(А+В)=(k+l – m)/n = k/n+l/n – m/n = Р(А) + Р(В) – Р(АВ). Ч.т.д.

Замечание: Если А и В – несовместимые события, то АВ – невозможное событие. И, значит, Р(АВ) = 0, и полученная формула превращается в формулу для несовместимых событий.

Семинар: 15.02.13

Для двух костей:

Сумма очков	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Число способов	1	2	3	4	5	6	5	4	3

Для трёх костей:

Сумма очков	3	4	5	6	7	8	9	10	11
Число способов	1	3	6	10	15	21	25	27	27
Сумма очков	12	13	14	15	16	17	18
Число способов	25	21	15	10	6	3	1

Сравни возведение в степень 2 полинома: (х+х^2+x^3+x^4+x^5+x^6) = x^2+2x^3+3x^4+4x^5+5x^6+6x^7+5x^8+4x^9+3x^10+2x^11+x^12

Степень = число очков, коэффициент = число способов. Для трёх костей возведём в куб. (Вывел Бернулли)

Игральная кость бросалась 4 раза. Рыцарь бился об заклад, что при этом хотя бы 1 раз выпадет 6 очков. Какова вероятность выигрыша для рыцаря?

Рассмотрим противоположное событие: не выпало ни одной шестёрки, таких случаев 5^4 тогда всего случаев 6^4, и вероятность рыцаря 1-(5^4)/(6^4) = 671/1296 чуть больше одной второй, значит, при большом количестве игр он выигрывал.

Вторая игра Де-Маре: Две игральные кости бросаются 24 раза. Рыцарь бился об заклад, что при этом хотя бы один раз выпадут две шестёрки. Какова вероятность проигрыша для рыцаря?

(35/36)^24 = больше одной второй – проигрыш рыцаря (Паскаль объяснил, почему)

Около прямоугольного треугольника АВС описана окружность. На его катетах (как на диаметрах) построены полуокружности. Доказать, что сумма площадей двух образовавшихся «луночек» (от слова луна – полумесяц) равна площади треугольника АВС.

(Задача Гиппократа Хиосского)