Относительная частота. Статистическое определение вероятности.

Классическое определение вероятности не является пригодным, также, для изучения произвольных случайных событий. Так, оно не приемлимо, если результаты испытания не равновозможны. Например: при бросании неправильной игральной кости выпадение её различных граней неравновозможно. В таких случаях испульзуется, так называемая, статистическое определение вероятности:

Пусть произведено n испытаний, при этом некоторое событие А наступило m раз.

Def: Число m называется «Абсолютной частотой», или просто «Частотой» события А называется, а отношение m/n называется относительной частотой события А.

Обозначается Р*(А) (со звёздочой)

Результаты многочисленных опытов и наблюдений помогают заключить следующее:

При проведении серии из n испытаний, когда число n сравнительно мало, относительная частота Р*(А) принимает значения, которые могут довольно сильно отличаться друг от друга. Но с увеличением n – числа испытаний в сериях, относительная частота приближается к некоторому числу, обозначим его Р(А), стабилизируясь около него, и принимая всё более устойчивые значения.

Пример: было проведено 10 серий броснаия монеты: по 1000 бросаний в каждой серии. Относительные частоты выпадения герба оказались следующими:

1) 0,501

2) 0,485

3) 0,509

4) 0,306

5) 0,485

6) 0,688

7) 0,500

8) 0,497

9) 0,494

10) 0, 484

Эти частоты, как мы видим, группируются около числа 0,5.

Определение (Статистическое определение вероятности): вероятностью события А в данном испытании называется число Р(А), около которого группируются значения относительной частоты при больших n.

В условиях приведённого примера эта вероятность равна 0,5.

Бифон сделал 4040 бросаний. Число выпадений герба оказалось 2048 раз – относительная частота 0,5080.

Пирсон 2 раза бросал монету: 12000 раз и 24000 раз, число выпадений герба получилось 6019, относительная частота 0,5016. Во втором случае 12012, и относительная частота 0,5005.

Таким образом, относительная частота события приближённо совпадает с его вероятностью в статистическом смысле, если число испытаний достаточно велико.

С этой точки зрения, m=n*p представляет собой среднее значение числа появления события А при n испытаниях.

Аксиоматическое определение вероятности.

В современных математических курсах вероятность определяется аксиоматически. При Аксиоматическом определении вероятности исходят из свойств вероятности событий, к которым применимы классическое или статистическое определение вероятности. Отельные свойства вероятности известны из предыдущего изложения. Поэтому, естественно принять следующие аксиомы:

Аксиома 1: Каждому событию А поставлено в соответствие неотрицательное число Р(А), называемое его вероятностью.

Аксиома 2: Вероятность достоверного события равна единице

Аксиома 3: Вероятность суммы попарно несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий.

Третья аксиома называется Аксиомой сложения вероятностей.

Исходя из этих аксиом, свойства вероятностей и зависимости между ними выводят в качестве теорем. Большие заслуги в аксиоматическом построении теории вероятностей принадлежат Колмагорову.