Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины

Пусть непрерывная случайная величина Х задана плотностью вероятности f(x). Допустим, что все возможные значения случайной величины Х принадлежат отрезку [a;b]. Точками х0=а<x₁<x₂<…<x_(n-1)<x_n=b – разобьём этими точками отрезок на n частичных отрехков, длины которых обозначим Δ х₁, Δ х₂, … Δ х_n. Наибольшую из этих длин обозначим через лямбда. Предполагая определить математическое ожидание Х, по аналогии с дискретной, составим сумму: ∑х_k*f(x_k)* Δ х_k, при k=[1;n].

Переходя в этой сумме к пределу при лямбда, стремящейся к нулю, получаем: справа: интеграл от a до b (f(x)* xdx) – этот интеграл и принимается за математическое ожидание непрерывной случайной величины, распределённой на отрезке [a;b], т.е. F(X) = интеграл от a доb (xf(x)dx).

Если возможные значения случайной величины Х принадлежат всей числовой оси, то математическое ожидание определяется равенством: F(X) = интеграл от –оо до +оо (xf(x)dx) , при этом предполагается, что несобственный интеграл сходится абсолютно т.е. сходится интеграл f(x)dx в бесконечных пределах, по аналогии с дисперсией, для дискретных случайных величин определяется дисперсия и для непрерывных случайных величин.

Дисперсией непрерывной случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата её отклонения.

Если всевозможные значения случайной величины Х принадлежат отрезку [a;b], то D(X)=интеграл от a до b [x – М(X)]²*f(x)dx

Если же всевозможные значения случайной величины Х принадлежат всей числовой оси, то D(X)=интеграл от –оо до +оо [x – М(X)]²*f(x)dx, при условии, что этот интеграл сходится.

Отметим, что установленные ранее свойства для математического ожидания и дисперсии в случае дискретных случайных величин остаются в силе и для непрерывных случайных величин.

В случае непрерывных случайных величин Среднее квадратическое отклонение определяется так же, как и при дискретных, а именно: корень квадратный из дисперсии, и обозначается так же – маленькая сигма.

Основные законы распределения непрерывных случайных величин

Равномерное распределение.

Def: Распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, принимающее все свои значения из отрезка [a;b], называется равномерным, если её плотность вероятности на этом отрезке постоянна, а вне его равна нулю, т.е.

{ 0, при х<a

f(x) = {c, при a<=x<=b

{0, при х>b.

Посчитаем несобственный интеграл в бесконечных пределах (f(x)dx): разобьём его на три интеграла: интеграл от –оо до а, от а до b, и от b до +оо = интеграл от а до b. С другой стороны, интеграл в бесконечных пределах равен 1, следовательно, интеграл от а до b (f(x)dx) = 1, но на этом отрезке плотность равна С, выходит, что интеграл от а до b (Сdx) = 1 => интеграл от а до b dx=1, выходит, что х в пределах от а до b, значит, С*(b-a) = 1 отсюда С= 1/(b-a).

Итак, приходим к выводу, что плотность вероятности непрерывной случайной величины, распределённой равномерно на отрезке [a;b], имеет следующий вид:

{ 0, при х<a

f(x) = {1/(b-a), при a<=x<=b

{0, при х>b.

Пример: на отрезке [a;b] наугад указывают точку. Какова вероятность того, что эта точка окажется в левой половине отрезка?

Обозначим через Х случайную величину, равную координате выбранной точки. Х распределена равномерно, т.к. точный смысл слов «наугад указанная точка» означает равномерное распределение. Т.к. середина отрезка [a;b] имеет координату (a+b)/2, то искомая вероятность будет равна: Р(a<Х<(a+b)/2)=интеграл от a до (a+b)/2 (f(x)dx) = 1/(b-a)|(в пределах) = 1/(b-a)*интеграл*xdx = ½