29.03.2013 Лекция Дифференциальная функция распределения

(или плотность вероятности)

Def: Дифференциальной функцией распределения, или плотностью вероятности непрерывной случайной величины Х называется функция f(x), равная производной интегральной функции:

1 f(x) = F’(x). Поскольку F(X) –неубывающая функция, то f(x) не отрицательна.

Формула Тейлора:

1. f(x) = F(A) – F’(A)dX + … + остаточный член в форме Коши или Лагранжа.

Из ф-лы тейлора следует, что F(X+dX) = (примерно) = F(X) + F’(dX), где d – дельта Х – малое.

Теорема: Вероятность попадания Непрерывной случайной величины Х в интервал [a,b] равна определённому интегралу от её плотности вероятности, взятому в пределах от а до b:

Р(а<X<b) = интеграл

Доказательство: т.к. ф-я F(X) – первообразная для f(Х), то, на основании формул Ньютона-Лейбница: интеграл f(X)dx = F(b) – F(a), но (см. прошлую лекцию):

Р(a<X<b) = интеграл от а до b f(X)dX.

Из геометрического смысла интеграла и полученного результата, вытекает, что вероятность Р(a<X<b) представляет собой геометрически площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком плотности вероятности, снизу – осью Ох, а с боков – отрезками: х = а, х = b.

Р(a<X<b) = интеграл от а до b f(X)dX – заменяя в этой формуле а на минус бесконечность, а b на Х, получим: F(X) – F(-oo) = интеграл от минус бесконечности до х f(x)dx, но F(-oo) = 0, сл-но, F(х) = интеграл от –оо до х f(x)dx. Эта формула позволяет найти интегральную функцию распределения по плотности вероятности и обратно.

В последней формуле пусть х = +оо, тогда: F(+oo) = int (-oo; +oo) f(x)dx, но F(+oo) = 1 (см. следствие), отсюда int (-oo;+oo) f(x)dx = 1.

Пример: пусть плотность вероятности f(x) = A/(1+x­­²). Найти А и функцию распределения f(x) и вероятность попадания случайной величины Х в интервал от [0;1], при х = (-оо;+оо).

1. Int (-oo;+oo) A/(1+x­­²) = A(arctg(+oo) – arctg (-oo)) = A/pi => A=1/pi

2. F(x) = 1/pi*int(-oo;x) (1/(1+x^2)dx) = (1/pi)*arctgx + ½

P(0<x<1) = 1/pi * int (0;1) (1/1+x^2)dx = ¼

Пример 2: f(x) = A/(e^x+e^-x) – ф-я плотности вероятности случайной величины Х. найти А и F.

Лекция 05.04.13

Как известно, определённый интеграл от a до b f(x)dx, где f(x) не отрицательна, геометрически представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y=f(x), снизу – осью х и с боков отрезками прямых х=а, х=b.

Отсюда, с учётом только что доказанной теоремы, следует, что вероятность Р(a<Х<b) представляет собой геометрически площадь той же самой криволинейной трапеции.

Имеем: интеграл от а до b (f(x)dx) = F(b) – F(a) (cм. Док-во теормемы о том, что вероятность попадания случайной величины в интервал равняется определённому интегралу)

Полагая в этом интеграле а=-оо, b=х, получим: F(x) – F(-oo) = интеграл от –оо до х (f(x)dx).

Но F(-oo) = 0, значит, F(x) = интеграл от –оо до х (f(x)dx). – эта формула позволяет находить интегральную функцию распределения по её плотности вероятности.

В полученной формуле, возьмём в качестве верхнего предела +оо: Тогда F(+oo) = интеграл от –оо до +оо , но F(+00) =1, значит, интеграл в бесконечных пределах равен 1