Рассмотрим полную группу событий, причём попарно несовместимых:

Обозначим их U1, U2, … Un, связанных с некоторым испытанием.

Предположим, что в этом испытании осуществление каждого из событий U1, U2, … Un равновозможно, т.е. условие испытания не создают преимущества в появлении какого-либо события перед остальными.

Def: события U1, U2, … Un, образующие полную группу попарно несовместимых и равновозможных событий называются элементарными событиями.

Пример: вернёмся к опыту с подбрасыванием игральной кости. Пусть Ui – событие, состоящее в том, что кость выпала гранью с цифрой i. (i= {1,2,3,4,5,6}) Как уже отмечалось, события U1, U2, … U6 – выпадение соответственно 1...6 – образуют полную группу попарно несовместимых событий.

Так как игральная кость предполагается однородной и симметричной, то эти события U1, U2, … U6 являются и равновозможными, т.е. эти события являются элементарными.

Def: событие А называется благоприятствующим событию В, если наступление события А влечёт за собой и наступление события В.

Пример: пусть при бросании игральной кости события U1, U2, … U6 – это появления соответственно 1,2…6 очков, и событие А, состоящее в появлении чётного числа очков. В этом случае событие U2 U4 и U6 благоприятствует появлению события А.

Def: (Классическое определение вероятности) Вероятностью Р(А) события А называется отношение m/n числа элементарных событий m, благоприятствующих событию А к числу n всех элементарных событий. Р(А)=m/n

Пример: Вычислим вероятность выпадения герба (орла) при одном бросании монеты:

Очевидно, событие А, т.е. выпадение герба, и событие В – выпадение цифры, образует полную группу несовместимых и равновозможных событий для данного исптытания. Таким образом, Р(А)=1/2.

Точно так же, при одном бросании игральной кости, вероятность выпадения какой-либо цифры от 1 до 6 равна 1/6.

Найдём вероятность того, что при однократном бросании игральной кости выпадет число очков, делящееся на 2, обозначим его событие А. Число элементарных событий = 6, число благоприятствующих событий = 3, значит Р(А)=3/6=1/2.

Из приведённого классического определения вероятности вытекают следующие её свойства:

1. Вероятность достоверного события равна 1.

Действительно, достоверному событию должны благоприятствовать все n элементарных событий, а значит m=n, Р(А)=n/n=1.

2. Вероятность невозможного события равна нулю. Невозможному событию не может благоприятствовать ни одно из элементарных событий, значит, в этом случае m=0.

3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключённое между нулём и единицей.

Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных событий, поэтому, в этом случае, 0<m<n => 0/n<m/n<n/n => 0<m<n

Вывод: вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству: 0<=P(A)<=1 (лежит на отрезке от 0 до 1)

Элементы комбинаторики

Комбинаторика - это раздел математики, занимающийся вопросами о том, сколько комбинаций определённого типа можно получить из данных предметов (элементов)

Def: Размещением из N различных элементов по M элементов (M<=N) называются комбинацией, составленной из данных N элементов по M, которые отличаются либо самими элементами, либо порядком элементов.

Например: Из 3 элементов а,b,c можно составить по 2 элемента следующие размещения:

а,b b,c а,c b,a c,b - 6 штук

Am вверху n

Аmn = (n-1)(n-2)…(n-m+1)

Def: Перестановками из n различных элементов называются размещения из этих n элементов по n.

Тогда в формуле Pn=n! Перестановок.

Def: Сочетаниями из n различных элементов по m называются комбинации, составленные из данных n элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом .

Отметим разницу между сочетаниями и размещениями: В сочетаниях не учитывается порядок элементов, обозначаются сочетания буквой С нижний индекс n верхний m. Формула:

Cnm=n!/n!(n-m)

Свойства сочетания: число сочетаний из n по m равняется числу сочетания из m по n-m.

Геометрическая Вероятность

Классическое определение вероятности предполагает, что элементарных событий конечно. Но на практике часто встречаются опыты, для которых множество таких событий бесконечно, например:

Пусть на отрезке [0,1] числовой прямой ставят точку, произвольно. Интуиция подсказывает, что точка попала либо на правую либо на левую половину отрезка. Поскольку точка ставится «на удачу», то, естественно считать эти события равновероятными. Вероятность каждого из них 0,5, поскольку это противоположные события.

Лекция 15.02.13

Т.е. вероятность попадания точки на часть этого отрезка длины l будет равна l/s. Аналогично понимается смысл выражения «точка поставлена на удачу» на квадрат со стороной единица или в прямоугольник площади единица.

В более сложных случаях может оказаться, что при геометрической интерпретации получится следующая картина: имеется фигура площади s и на неё ставится точка на удачу. Тогда вероятность попадания точки на часть этой фигуры с площадью q будет равна дроби q/s. Аналогично и в пространственном случае. Здесь берётся отношение объёмов.

Такое определение вероятности получило название «Геометрического»

Теорема сложения вероятностей для несовместимых событий

Теорема: Вероятность суммы двух несовместимых событий AиB равна сумме вероятностей этих событий, т.е. P(A+B)=P(A)+P(B)

Доказательство:

Для доказательства используем классическое определение вероятности.

Предположим, что в данном испытании число всех элементарных событий равняется n событию А благоприятствует k элементарных событий, событию B благоприятствует l элементарных событий. Т.к. А и В – несовместимые события, то ни одно из элементарных событий U1, U2, … Un не может одновременно благоприятствовать и событию А, и событию В. Следовательно, событию (А+В) будет благоприятствовать k+l элементарных событий. По классическому определению вероятности имеем: Р(А+В)=(k+l)/n, P(A)=k/l,

P(B)=l/n, откуда P(A+B) = (k+l)/n = k/n+l/n = P(A) + P(B). Ч.т.д.

Точно так же эта теорема формулируется и доказывается для любого конечного числа попарно несовместимых событий.

Следствие: сумма вероятностей противоположных событий А и А(с чертой сверху) равна единице: Р(А)+Р(А_)=1

Доказательство:

Поскольку события А и А_ - несовместимы, то, по доказанной выше теореме имеем: Р(А+А_)=Р(А)+Р(А_). Событие А+А_ - достоверное событие, раз так, то Р(А+А_)=1.