9)Волновая функция. Уравнение Шрёдингера. Физический смысл его решения.

Уравнение волны де Бройля для свободной частицы пишут в виде

Ψ= Aexp[(i/ħ)( рx-Et)]

Функцию Ψ называют волновой функцией. Она описывает состояние частицы.

В развитии идеи де Бройля о волновых свойствах вещества Шрёдингер получил в 1926 г. свое знаменитое уравнение. Оно позволяет найти волновые функции частиц, движущихся в разных силовых полях. Уравнение выглядит следующим образом:

dW=│Ψ│²dV; dW-вероятность обнаружения

Ψ(конечная,однозначная,неприрывная)-1-ое условие

∫│Ψ│²dV=1-второе условие

- уравнение Шрёдингера для стационарных состояний.

10)Квантование энергии электрона в потенциальном ящике. Туннельный эффект. Квантовый осциллятор.

0<x<L;U=0 }

x<0; x>L; U=∞}граничные условия

Ψ=0,x<0 Ψ=0,x>L

Ψ(0)=0 wL= где

Ψ(i)=0 Ψ=Asin(ωx+φ)

ωL= , n=1,2,3,4,5,……..

ω= ; E= Ψ=Asin( )

E=ħ²/2m(π/L)²(n_x²+n_y²+n_z²)

Туннельный эффект.

U(x)=0,x<0 U(x)=U₀,x>0 E<U₀

-(ħ²/2m)(d²Ψ/dx²)+U₀Ψ=EΨ

(d²Ψ/dx²)=2m/ħ(U₀-E)Ψ

(d²Ψ/dx²)= ²Ψ ²=2m/ħ²(U₀-E);

Квантовый осциллятор

U=kx²/2 ω= k = mω²

U= mω²x²/2 – потенциальная энергия классического осциллятора.

11.Основные результаты квантово-механической теории атома водорода. Характер волновой функции, дискретность энергетических уровней и зависимость энергии от главного квантового числа.

Уравнение Шредингера для атомов водорода:

∆ψ- ψ= Eψ

U= - eφ= - e = U-потенциальная энергия е

x=rsinθcosφ, y=rsinθsinφ, z=rcosθ

∆r= (r² )- оператор Лапласа в сферических координатах

(r² ) - ψ=Eψ

Ψ=e^-r/a проверим, верно ли это уравнение при волновой функции

E=(-ze²/2a)*1/n² формула для определения энергии е

a= e² а- постоянная, совпадает с Боровским радиусом атома и опред. размер атома

Выясним смысл «а». Для этого рассмотрим вероятность обнаружения атома в сферическом слое:

dW=e^-2r/a4πr²dr

Рассмотрим величину ρ (плотность вероятности)

из этого следует, что max w при r=a, где а-боровский радиус

Но нас интересует не только ψ, но и w на раст. r

ρ=dw/dr

а-радиус, где расстояние обнаружения е является максимальным

dρ/dr=0 r=a

электронное облако туман, но он имеет сгущения при r=a

ψ=R_nl(r)P_l^m(cos(θ))e^imφ; R-радиальная функция, Р- полином Лежандра,

ψ оперделяется квантовыми числами:

m-магнитное квантовое число (опред. ориент. момента инерции, -l, -(l-1), 0, l+1, 1)

n-главное квантовое число (опред. E, 1,2,3…-целые положительные числа)

l-орбитальное квантовое число (опред. величину момента импульса, 0,1,2…n-1)

H=1

E=-13,60 эВ

Если Е>0, то она не дискретна соответствует случаю, когда е отрывается от атома

Мин. Е, которую необходимо затратить, чтобы выт. е с нижнего электронного уровня =-13,60 эВ-энергия ионизации (связи)

Переход на n=1-серия Лаймана, n=2 на серия Бальмера, n=3-серия Пашена

12. Орбитальный момент электрона. Орбитальное квантовое число и магнитное квантовое число. Орбитальный магнитный момент электрона.

Электрон в атоме, движущийся по круговой орбите, обладает импульсом

L=[rp]- момент импульса (орбитальный момент) p=mV, L направлен на нас (по буравчику)

j=eψψ^* (ψψ^* =W) –пространственный электронный ток, распр. в объёме атома

L= h –тоже квантуется, l-орбитальное квантовое число L_z=m_lh, где m_l-магнитное квантовое число

Приклад. поле Н, чтобы пространство не было однородным.

m_l=-l, -(l-1),…, 0, l-1, l (zl+1 штук)

Пусть l=1, тогда m=-1, 0, +1, L= h

Ориентация L в пространстве тоже дискретна.

Проводим линии через max плотность L

Орбитальный магнитный момент

Разнонаправлены орбитальный и магнитный момент

μ=(1/с)iS=(1/с)(e/T)πz²=(1/с)(eV/2πr)πr²

T=(2πr)/V

=- – гиромагнитное отношение (знак минус, так как в разные стороны)

μ_отб=- L_орб= μ_в= - магнитон Бора- min значение магнитного момента, который может иметь ē и атом.

(μ_отб)_z=- ml=μ_вm_l- проекция магнитного момента