Лекции 5,6. Процессы авторегрессии и скользящего среднего

1. Предварительные сведения

1.1. Основные понятия и терминология

При исследовании реальных устройств, функционирующих в условиях случайных возмущений, экспериментатор может наблюдать и фиксировать реализации случайных процессов, связанных с работой устройства. При этом статистические закономерности процессов и параметры исследуемого устройства частично или полностью оказываются априори неизвестными. Поскольку получение точных значений интересующих характеристик и параметров, как правило, бывает невозможным, приходится оценивать на основе обработки экспериментальных данных с учетом априорной информации, указывающей, например, класс к которому принадлежит исследуемый процесс.

Для широкого класса устройств модель функционирования может быть представлена как реакция на входные возмущения и начальное состояние. Модель, описывающую работу устройств как преобразование входных возмущений и начального состояния в выходную реакцию, называют системой.

Для математического описания системы удобно использовать принятую терминологию: так, входные возмущения и начальное состояние называют входным сигналом, реакцию системы – выходным сигналом. Входные и выходные сигналы в общем случае являются элементами произвольных пространств. Например, для механических устройств входными сигналами могут быть силы и моменты, а выходными – перемещения, скорости и ускорения. Для радиотехнических и электронных систем входными сигналами являются электромагнитные поля, токи и напряжения, а выходными - сигналы той же природы или звуковые сигналы, а возможно и телевизионные изображения. Для организационных систем в качестве входных сигналов можно рассматривать проблемы, а качестве выходных – решения проблем.

Обозначая входной сигнал через X, а выходной – через Y, можно схематически изобразить систему (рис.1).

Рис. 1.

Мы будем рассматривать стационарные (установившиеся) режимы функционирования систем, а это означает, что входной и выходной процессы являются стационарными в широком смысле. Кроме этого, предположим, что X и Y, являются процессами с целочисленным временем: Такие процессы чаше называются случайными последовательностями (с.п.) или временными рядами.

1.2. Элементы теории стационарных случайных процессов

С.п. ., принимающая, вообще говоря, комплексные значения, называется стационарной в широком смысле, если для любого целого t и корреляционная функция

зависит только от разности моментов времени t и s. Таким образом, корреляционная функция стационарной с.п. является комплекснозначной функцией целочисленного аргумента: .

Она обладает следующими свойствами:

1) ; если же принимает только вещественные значения, то ;

2) ; если вещественнозначная с.п., то ;

3) неотрицательно определена, т.е. для любого целого , любых целых и любого набора комплексных чисел выполнятся неравенство

.

Согласно теореме А.Я. Хинчина для корреляционной функции стационарный с.п. имеет представление

(1) в котором – неубывающая неотрицательная ограниченная функция на , называемая, как и в случае процессов с непрерывным временем, спектральной функцией. Если

, (2) то функция будет дифференцируемой, и она может быть представлена в виде

, (3) где . При этом (1) можно заменить формулой

(4)

Функция , где , называется спектральной плотностью случайной последовательности. Из (4) видно, что величины , являются коэффициентами Фурье функции , так что разложение этой функции в ряд Фурье будет иметь вид

. (5) Эту формулу можно рассматривать как дискретный аналог известной формулы обращения для спектральной плотности непрерывного в среднем квадратическом (с.к.) стационарного в широком смысле процесса.

Используя теорему Карунена для стационарной последовательности , с и с корреляционной функцией (1), получаем интегральное представление (теорема Хинчина)

, (6) где в правой части имеем стохастический интеграл по процессу с ортогональными приращениями и со спектральной функцией , совпадающей со спектральной функцией в представлении (1) корреляционной функции последовательности .