2. Бифуркации состояний равновесия.

Основные бифуркации состояний равновесия:

а) Слияние и последующее исчезновение двух состояний равновесия.

Примером может служить движение шарика в потенциальной яме с «полочкой». При сглаживании полочки (BD, рис. слева) состояния равновесия, седло S и центр C₂ сливаются и исчезают (рис. рис. справа).

б) Рождение предельного цикла из состояния равновесия.

Пример такой бифуркации переход простейшего лампового генератора при соответствующем изменении управляющего напряжения от режима статических колебаний к автоколебательному режиму. В этом случае на фазовой плоскости из устойчивого фокуса в начале координат при коэффициенте затухания a³0 рождается предельный цикл, амплитуда которого при малых a имеет порядок a^1/2, а фокус становится неустойчивым.

в) Рождение из одного равновесного состояния трёх состояний равновесия (спонтанное нарушение симметрии).

Например, изменению движения шарика в жёлобе при появлении на дне жёлоба бугорка соответствует бифуркация, при которой из вырожденного состояния равновесия типа центр (рис. а) возникают три состояния равновесия - седло S и центры C₁ и C₂ (рис. б). При этом возможно существование устойчивых несимметричных движений в полностью симметричной системе.

Рождение из одного состояния равновесия трёх при малом

изменении параметра (формы жёлоба):

а - форма жёлоба и соответствующий фазовый портрет с одним

состоянием равновесия типа центр,

б - форма желоба с двумя минимумами и соответствующий

фазовый портрет с тремя состояниями равновесия:

седло S (гиперболическая точка) и два центра C₁ и С₂ (элиптические точки).

При этом возможно существование устойчивых несимметричных движений в полностью симметричной системе.

За локальными бифуркациями можно проследить, наблюдая развитие малых возмущений в системе, которые описываются линеаризованными уравнениями. В динамической системе x = X ( x, µ ) (здесь х – вектор физических переменных, µ – параметр, а x(µ) – состояние равновесия) малые возмущения ξ описываются уравнением ξ=А(µ)ξ, где А(µ)≡∂X[x₀(µ), µ]/∂x. Если корни λ_n характеристического уравнения det [А(µ)–λE]=0 (где E – единичная матрица) не лежат на мнимой оси к омплексной плоскости (рис. ниже), то в окрестности состояния равновесия при малых сдвигах параметров бифуркации не происходит.

Она осуществляется, лишь когда при µ, равном критическому значению µ * один или несколько корней попадает на мнимую ось комплексной плоскости. Всем бифуркациям исчезновения или рождения состояний равновесия соответствует прохождение одного или нескольких корней через ноль. Одна из подобных возможностей представлена на рис. ниже, где изображено рождение состояний равновесия типа седла S и узла N.

3. Бифуркации рождения периодического движения.

Известны несколько групп бифуркаций рождения периодического движения. Одна их них: бифуркация исчезновения устойчивого периодического движения в момент его слияния с неустойчивым периодическим движением – это так называемая касательная бифуркация. Для автогенератора с жёстким возбуждением можно пояснить с помощью графика отображения Пуанкаре

График отображения Пуанкаре (зависимость величины параметра x на n+1 шаге итераций от величины на n-м шаге) секущей x=0 для автогенератора с жёстким возбуждением :

а – устойчивые колебания отсутствуют – предельных циклов нет; б – момент бифуркации – график функции касается биссектрисы; в – устойчивое 1 и неустойчивое 2 движения.

Здесь зависимость величины параметра x на n+1 шаге итераций от величины на n-м шаге). Рис.а соответствует состоянию системы, в котором устойчивые колебания отсутствуют – предельных циклов нет. Рис.б соответствует моменту бифуркации: график функциональной зависимости x_n+1 от x_n касается биссектрисы первого квадранта – происходит рождение двух периодических движений – устойчивого 1 и неустойчивого 2 (рис. в).