Основные числовые множества

В процессе получения количественных результатов мы постоянно имеем дело с множествами чисел. Приведем классификацию числовых множеств:

1. Натуральные числа N=

2. Неотрицательные числа

3.Целые числа

4. Рациональные числа , где

5. Действительные числа , полная совокупность рациональных и иррациональных чисел.

Очевидно: , т.е. каждое числовое множество является подмножеством следующего.

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ ПО ТЕМЕ 3

Задание 1

Решения задач по теории множеств, доказательства формул удобно проводить, пользуясь не только определениями и объектным представлением о множестве, но и с помощью диаграмм Эйлера. Рассмотрим несколько типовых задач.

1. Определить множество А решений уравнения х²-25=0.

х²-25 = 0 х² = 25 х₁= -5; х₂= 5.

Ответ: А= { х | х²-25 = 0} = { -5; 5}.

2. Определить множество В решений неравенства 2х+9≥0.

2х+9≥0 2х ≥ -9 х ≥ -4,5

Ответ: В= { х | 2х+9≥0 } = { х | х≥ - 4,5} = [-4,5; )

3. Заданы множества А={1; 3; 4; 6} и В={3; 5; 6; 7}. Определить результаты операций А В; А В; А \ В; В \ А; А + В.

Изобразим эти множества в виде диаграмм Эйлера и решим задачу:

А В ={1; 3; 4; 5; 6; 7};

А В ={ 3; 6}; А \ В = { 1; 4};

В \ А ={ 5; 7}; А+В={1; 4; 5; 7}

3. Определим результаты тех же операций, если А = { х | 1≤ х ≤ 5}; В = { х | 3≤ х ≤ 7}.

В рисунке кружками обозначены точки, являющиеся концами нестрогого неравенства, крестиком – строгого неравенства.

А В ={ х | 3≤ х ≤ 5 } = [3; 5];

А В ={ х | 1≤ х < 7 } = [1; 7);

А \ В ={ х | 1≤ х < 3 } = [1; 3);

В \ А ={ х | 5< х < 7 } = (5; 7);

A+В={ х |1≤х<3 5<х<7}=

[1;3) (5; 7).

3. Доказать формулу В (А \ В)=А В.

На диаграмме рассмотрим результат левой части формулы:

А \ В:

В (А \ В):

Результат для правой части:

А В:

Так как оба рисунка полностью совпали, то формула доказана.

3. Определить все подмножества множества А= {0; 1; 3}.

Несобственные: Ø и А; Одноэлементные: {0}; { 1}; { 3 }; двухэлементные: {0; 1}; {0; 3}; { 1; 3}. Следовательно, степень множества Р(А), т.е. множество всех подмножеств, имеет вид:

Р(А)= { Ø; {0}; { 1}; { 3 }; {0; 1}; {0; 3}; { 1; 3}; {0; 1; 3}}.

Для проверки используем теорему: если множество А состоит из n элементов, то число всех его подмножеств равно 2ⁿ… В нашем случае n=3., следовательно, число подмножеств 2³ =8, что совпадает с числом перечисленных в Р(А) объектов.

ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ТЕМЕ 3

1. . Найти А В.

Ответ: (3; 8].

2. . Найти А В

Ответ: (-2; 8).

3. . Найти А \ В и В \ А

Ответ: (6; ∞) и (2;4).

4. Оценить множество

Ответ: min А не существует; max А=4

5. Оценить множество С = А В., если

Ответ: min С не существует; max С не существует.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ПО ТЕМЕ 3

1. Понятие множества. Обозначения. Изображение множества.

2. Способы задания множеств.

3. Подмножества. Собственные и несобственные подмножества.

4. Операции над множествами.

5. Основные числовые множества.

6. Ограниченные и неограниченные множества.

Литература. А: 3-4, 6. Б: 7,8.

4. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

4.1. Функция. Определение и свойства функции. Классификация функций

Напомним известные из школьного курса понятия, которые во многом наполняются новым содержанием в высшей математике.

Если каждому элементу из множества Х ставится в соответствие определенный элемент множестваY, то называется функцией аргумента на множестве Х.

Множество Х называется областью определения функции, а множество Y – областью значений функции.

Задание функции может производиться следующими способами:

- аналитическим – формулами;

- табличным;

- графическим;

- программой ЭВМ;

- словесным (описательным или семантическим).

Основные свойства функции.

1. Функция называется четной, если ; нечетной, если , иначе – не четной, не нечетной (общего вида).

2. Если бóльшему значению аргумента на интервале соответствует бóльшее значение функции , то функция называется возрастающей на интервале.

3. Если бóльшему значению аргумента на интервале соответствует меньшее значение функции , то функция называется убывающей на интервале.

4. Если функция на интервале либо только возрастает, либо только убывает, то функция называется монотонно возрастающей или монотонно убывающ9ей на интервале.

5. Если функция на всем множестве Х не превосходит некоторого числа M>0, т.е. , то функция называется ограниченной на интервале, иначе – неограниченной.

6. Функция называется периодической с периодом Т, если имеет место равенство .