0. Кривые второго порядка

Определения и вид канонических уравнения кривых

второго порядка на плоскости

О кружность. Геометрическое место точек плоскости, равноудаленных до токи, называемой центром окружности.

Уравнение окружности с центром в начале координат: , где - радиус окружности.

Уравнение окружности с центром в точке (х₀;у₀): .

Эллипс. Геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний которых до двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная. Точки (F₁,;0) и ( F₂ ,0) - фокусы эллипса.

К аноническое уравнение эллипса с центром в начале координат: , где - большая полуось эллипс, - малая полуось эллипса.

Каноническое уравнение эллипса с центром в точке (х₀;у₀): .

Гипербола. Геометрическое место точек плоскости, разность расстояний которых до двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная. Точки (F₁,;0) и ( F₂ ,0) - фокусы гиперболы.

• К аноническое уравнение гиперболы с центром в начале координат: , где - действительная, - мнимая полуоси гиперболы.

Каноническое уравнение гиперболы с центром в точке (х₀;у₀): , где - действительная, - мнимая полуоси гиперболы.

• К аноническое уравнение гиперболы с центром в начале координат: , где - мнимая, - действительная полуоси гиперболы.

Каноническое уравнение гиперболы с центром в точке (х₀;у₀): , где - мнимая, - действительная полуоси гиперболы.

Парабола. Геометрическое место точек плоскости, одинаково удаленных от точки, называемой фокусом и прямой, называемой директрисой. Точки (p/2;0) – фокус параболы, прямая х = -p/2 –директриса параболы.

У равнение параболы с вершиной в начале координат: . Если p>0, ветви параболы направлены вправо и симметричны относительно оси ОХ. Если p<0, ветви параболы направлены влево и симметричны относительно оси ОХ.

Уравнение параболы с вершиной в точке (х₀;у₀): .

• Уравнение параболы с вершиной в начале координат: . Если p>0, ветви параболы направлены вверх и симметричны относительно оси ОУ. Если p<0, ветви параболы направлены вниз и симметричны относительно оси ОУ.

Уравнение параболы с вершиной в точке (х₀;у₀): .

Приведение общего уравнение кривой второго порядка к каноническому виду

Общее уравнение кривой второго порядка на плоскости:

Ax² + By² + Cxy + Dx + Ey + F = 0 (2.1)

Будем рассматривать вариант уравнения с С=0, т.к. ненулевое С указывает на поворот осей кривой относительно системы координат ХОУ. Уравнение (2.1) примет вид:

Ax² + By² + Dx + Ey + F = 0 (2.2)

По соотношению коэффициентов и их знаков в уравнении можно сказать, какая кривая описаны тем или иным уравнением:

- если А = В - имеет место окружность;

- если │А│ ≠ │В│, а знаки этих коэффициентов совпадают, имеет место эллипс;

- если знаки коэффициентов А и В не совпадают, имеет место гипербола;

- если либо А = 0, либо В = 0 – имеет место парабола.

Для приведения уравнения (2.2) к каноническому виду группируем члены, содержащие координаты х в одну скобку, содержащие у – в другую:

(Ax² + Dx) ± (By² + Ey) + F = 0.

Затем из каждой скобки выносим коэффициент при второй степени х и у и содержание каждой скобок дополняем до полного квадрата:

А(x²+D/Ах + (D/2А)²) - А·(D/2А)² ± В(у² +Е/Ву + (Е/2В)²) - В·(Е/2В)²+ F = 0,

А(x+D/2А) ² ± В(у +Е/2В)² = А·(D/2А)² + В·(Е/2В)²- F.

Обозначим А·(D/2А)² + В·(Е/2В)²- F= S , тогда получим: А(x+D/2А) ² ± В(у +Е/2В)² = S.

Раздели каждый член уравнения на S, получим:

- каноническое уравнение кривой второго порядка.