1.7. Элементы общей теории слау Условие совместности слау

Рассмотрим СЛАУ общего вида (система 1.1).

Теорема 1. (Кронекера-Капелли). Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных равен рангу расширенной матрицы.

Пусть совместная СЛАУ имеет n уравнений, s неизвестных и ранг матрицы А и расширенной матрицы rang A = rang A^р =r. Тогда совместная СЛАУ будет определенной (имеющей единственное решение), если:

0. n = s = r:

1. n > s = r.

Практические задания по теме 1

Задание 1

Пользуясь элементами теории матриц, решить следующие задачи:

1. Дана матрица , тогда

.

2. Даны матрицы , , тогда

.

3. Даны матрицы , , тогда

4. Найти транспонированную матрицу матрицы . =

5. Вычислить матрицу С=АВ, если , В= .

С=АВ= = .

Задание 2

Используя элементы теории определителей, решить следующие задачи:

1. Определить миноры М₁₁ и М₂₃ квадратной матрицы: А= .

(вычеркиваем 1-ю строку и 1-й столбец);

(вычеркиваем 2-ю строку и 3-й столбец).

2. В предыдущем примере

= (-1) [45 - 3(-1)] = -23.

3. Вычислить определитель: det A= = 25 - 43 = -2.

4. Вычислить det A= = 125 + 3(-1) 3 + 40(-2) -32(-2) - 435 - 0(-1) 1 = -47.

5. Вычислить определитель разложением по 1-ой строке:

= 1(-1)¹⁺¹ + 3 (-1)¹⁺² +(-2) (-1)¹⁺³ = 1 [25 -0(-1)] -3  [45 -3(-1)] + (-2)  [40 -32]=10 – 69 +12=-47

Задание 3

Вычислить обратную матрицу матрицы А.

А= ;

Вычислим определитель матрицы А:

D= = 4+8+0+0-1+0=11;

Так как D  0, матрица А - невырожденная.

Находим алгебраические дополнения элементов матрицы А :

A₁₁= (-1 )¹⁺¹ = (-1)¹⁺¹ (-2 -0) = -2; A₁₂ = (-1) ¹⁺² = (-1) ¹⁺² (1-8) =7;

A₁₃ = (-1) ¹⁺³ = (-1) ¹⁺³ (0 -8) = -8; A₂₁= (-1)²⁺¹ =

(-1)²⁺¹ (1 - 0) = -1;

A₂₂ = (-1) ²⁺² = (-1) ²⁺² (-2 – 0) = 2; A₂₃ = (-1) ²⁺³ = (-1) ²⁺³ (0 +4) = -4;

A₃₁= (-1)³⁺¹ = (-1)³⁺¹ (-2 +0) = -2; A₃₂ = (-1) ³⁺² = (-1) ³⁺² (4 -0) = -4;

A₃₃ = (-1) ³⁺³ = (-1) ³⁺³ (4 -1) = 3;

Присоединенная матрица матрицы А будет иметь вид:

.

Транспонируем присоединенную матрицу.

Обратная матрица строится из транспонированной присоединенной матрицы, каждый элемент которой делится на определитель. Следовательно:

А^-1=

Задание 4

Вычислить ранг матрицы А.

А= .

Вычислим последовательно миноры матрицы.

• Существует минор первого порядка, отличный от нули, например D₁=1 (1 строка, 1 столбец).

• Существует минор второго порядка, отличный от нуля:

D₂= = -1+2=1 ≠ 0.

Вычислим миноры третьего (наивысшего для данной матрицы) порядка.

Все миноры третьего порядка равны нулю, следовательно, rangA = 2.

Задание 5

Решить систему линейных алгебраических уравнений:

а) методом Гаусса;

б) матричным способом;

в) по правилу Крамера.

(1.7)

а) Решение системы (1.7) методом Гаусса

Приведем расширенную матрицу системы к треугольному виду:

 

Реконструируем систему уравнений:

Отсюда : x₃ = = - , x₂ = , х₁ = - .

б) Решение системы (1.7) матричным методом

В матричном виде система линейных уравнений записывается:

АХ=В

Ее решение: Х= А^-1В, где А^-1 - обратная матрица матрицы А.

В системе (3):

А= ; Х= ; В=

Вычислим определитель матрицы А:

D= = 4+8+0+0-1+0=11;

Так как D  0, матрица А - невырожденная. Вычислим обратную матрицу А^-1 . Находим алгебраические дополнения элементов матрицы А :

A₁₁= (-1 )¹⁺¹ = (-1)¹⁺¹ (-2 -0) = -2; A₁₂ = (-1) ¹⁺² = (-1) ¹⁺² (1-8) = 7;

A₁₃ = (-1) ¹⁺³ = (-1) ¹⁺³ (0 -8) = -8; A₂₁= (-1)²⁺¹ =

(-1)²⁺¹ (1 - 0) = -1;

A₂₂ = (-1) ²⁺² = (-1) ²⁺² (-2 – 0) = 2; A₂₃ = (-1) ²⁺³ = (-1) ²⁺³ (0 +4) = -4;

A₃₁= (-1)³⁺¹ = (-1)³⁺¹ (-2 +0) = -2; A₃₂ = (-1) ³⁺² = (-1) ³⁺² (4 -0) = -4;

A₃₃ = (-1) ³⁺³ = (-1) ³⁺³ (4 -1) = 3;

Присоединенная матрица матрицы А будет иметь вид:

.

Транспонируем присоединенную матрицу.

Обратная матрица строится из транспонированной присоединенной матрицы, каждый элемент которой делится на определитель. Следовательно:

А^-1=

Решение системы (3) в матричном виде:

= .

Отсюда:

х₁ = 4  (-2/11) + (-2)(-1/11) + (-2)(-2/11) = - 2/11 ;

x₂ = 4  (7/11) +(-2 )(-2/11) + (-2)  (-4/11) = 40/11;

x₃ = 4  (-8/11) +(-2)  (-4/11) + (-2)(3/11) = -30/11.

в) Решение системы (1.7) по правилу Крамера

Вычислим определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных:

D= = 4+8+0+0-1+0=11

Так как D  0, система имеет решение.

Находим:

D₁ = = -8 +4 +0 -0+2 -0 = -2

D ₂ = = 4 +32 +0 -0 -4 +8 = 40

D ₃= = -8 +8 +0 -32 -0 +2 = -30

По правилу Крамера:

х₁ = D₁ / D = -2/11, x₂ = D₂ /D =-40/11, x₃ = D₃/D = -30/11

Задание 6

Дана система линейных алгебраических уравнений:

Требуется:

a) с помощью теоремы Кронекера-Капелли доказать ее совместность;

б) ответить на вопрос: совместная система определенная или неопределенная;

c) решить систему методом Гаусса или по правилу Крамера.

а) Находим ранг матрицы А.

А = .

Выбираем минор второго порядка:

М₂= = 4  0, т.е., ранг матрицы А равен, как минимум, 2. Переходим к анализу миноров более высокого порядка (3), окаймляющих М₂ .

М₃ = = 4 +16 +0 -24 -0 - 0 = - 4  0, т.е. минор третьего порядка

М₃  0.

Следовательно, r (A) =3;

Находим ранг расширенной матрицы.

А_р = ,

Т.к. ранг матрицы А_р не может быть больше 3 (матрица содержит три строки) и ранг матрицы А, являющейся составляющей частью матрицы А_р, r (A) =3, то и r(А_р)=3.

Следовательно, по теореме Кронекера-Капелли система совместна.

б) Так как ранг матрицы А равен порядку системы, система имеет единственное решение.

в) Ищем решение системы по правилу Крамера. D = - 4 (см. пункт а данного задания).

D₁ = = -8 -48 +0 +72 -0 -2 = 14

D₂ = = -1 +16 + 0 +6 – 24 -0 = -3

D₃ = = -24 +4 +0 +16 -0 -0 = -4

По правилу Крамера:

х₁ = D₁ / D = -14/4 = -3,5; x₂ = D₂ /D = 3/4; x₃ = D₃/D = 4/4= 1.