- •Цели и задачи дисциплины
- •Содержание курса
- •1. Линейная алгебра
- •1.1. Система линейных алгебраических уравнений (слау).
- •1.2. Матрицы и действия с ними
- •1.3. Определители
- •1.4. Обратная матрица
- •Ранг матрицы
- •1.7. Элементы общей теории слау Условие совместности слау
- •Практические задания по теме 1
- •Тренеровочные задания по теме 1
- •Контрольные вопросы по теме 1
- •2. Аналитическая геометрия
- •2.1. Прямая на плоскости
- •Кривые второго порядка
- •Приведение общего уравнение кривой второго порядка к каноническому виду
- •Практические задания по теме 2
- •Тренировочные задания по теме 2
- •Контрольные вопросы по теме 2
- •3. Основные понятия теории множеств Определения , термины, символы
- •Основные числовые множества
- •Классификация функций
- •4.2. Предел функции
- •Теоремы о пределах
- •Вычисление пределов
- •Замечательные пределы
- •Тренировочные задания по темам 4.1, 4.2
- •Производная и дифференциал функции Определение производной, геометрический и физический смысл
- •Табличные производные
- •Правила дифференцирования
- •Производные высших порядков
- •Дифференциал функции
- •Тренировочные вопросы по теме 4.3
- •Контрольные вопросы по теме 4.3
- •4.4. Применения производной
- •Возрастание и убывание функции
- •Экстремумы функции
- •Т очки перегиба функции и их определение
- •Асимптоты функции
- •Общая схема исследования функции и построения графиков
- •Практические задания по теме 4.4
- •Тренировочные задания по теме 4.4
- •Неопределенный интеграл Первообразная функция и неопределенный интеграл
- •Методы интегрирования
- •Метод замены переменных
- •Метод интегрирования по частям
- •Определенный интеграл Определение. Формула Ньютона - Лейбница
- •Основные методы интегрирования
- •Применение определенного интеграла к вычислению площадей
- •Практические задания по темам 4.5, 4.6
- •Тренировочные задания по темам 4.5, 4.6.
- •5. Элементы комбинаторики Факториал
- •Перестановки, размещения, сочетания
- •Практические задания по теме 5
- •Тренировочные задания по теме 5
- •Контрольные вопросы по теме 5
- •6. Элементы теории вероятностей
- •6.1. Случайные события
- •Вероятность события
- •Теоремы сложения и умножения вероятностей
- •Формула полной вероятности событий и формула Байеса
- •Распределение Бернулли
- •Распределение Пуассона.
- •Практические задания по теме 6.1
- •Тренировочные задания по теме 6.1
- •Контрольные вопросы по теме 6.1
- •Случайные величины
- •Числовые характеристики дискретных случайных величин
- •Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •Практические задания по теме 6.2
- •Тренировочные задания по теме 6.2.
- •Контрольные вопросы по теме 6.2
- •7. Элементы математической статистики
- •Статистическое распределение выборки
- •Полигон и гистограмма
- •Статистические характеристики вариационных рядов
- •Оценки генеральной совокупности по выборке
- •Дополнительные характеристики вариационного ряда
- •Понятие о проверке статистических гипотез
- •Практические задания по теме 7
- •Тренировочные задания по теме 7
- •Контрольные вопросы по теме 7
- •Варианты
- •Тема 7 Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вопросы для подготовки к экзамену
- •Список литературы
- •Распределение учебного времени по темам и видам работ
- •Содержание
Контрольные вопросы по теме 6.2
Случайные величины, их виды и свойства.
закон распределения случайной величины.
Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.
Интегральная функция распределения случайной величины.
Дифференциальная функция распределения случайной величины.
Числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин.
Распределения: Бернулли, Пуассона, равномерное, нормальное, показательное.
Литература. А: 2—4, 7, 8, 9, 11; Б: 8, 9.
7. Элементы математической статистики
Генеральная совокупность и выборка
Установление закономерностей, которым подчинены массовые случайные явления, основано на изучении методами теории вероятностей статистических данных – результатов наблюдений.
Первая задача математической статистики – указать способы сбора и группировки статистических сведений, полученных в результате наблюдений или в результате специально поставленных экспериментов.
Вторая задача – разработать методы анализа статистических данных в зависимости от целей исследований. Сюда относятся:
а) оценки неизвестной вероятности события; неизвестной функции распределения; параметров распределения, вид которого известен; зависимости случайной величины от одной или нескольких случайных величин и др.;
б) проверка статистических гипотез о виде неизвестного распределения или о величине параметров распределения, вид которого известен.
Современная математическая статистика разрабатывает способы определения числа необходимых испытаний до начала исследования (последовательный анализ) и решает многие другие задачи. Современную математическую статистику определяют как науку о принятии решений в условиях неопределенности.
Как отмечено выше, первая задача математической статистики состоит в создании методов сбора и обработки статистических данных для получения научных и практических выводов.
Пусть требуется изучить совокупность однородных объектов относительно некоторого качественного или количественного признака, характеризующего эти объекты. Например, если имеется группа людей, то качественным признаком может служить их образование, а количественным – их возраст.
Иногда проводят сплошное обследование. Но если совокупность содержит очень большое число объектов, в этом случае для обследования из всей совокупности может быть выбрано ограниченное число объектов, которое и подвергается обследованию.
Выборочной совокупность или просто выборкой называют совокупность случайно отобранных объектов.
Генеральной совокупностью называют совокупность объектов, из которых проводится выборка.
Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называют число объектов этой совокупности.
При составлении выборки можно поступать двумя способами: после того как объект отобран и над ним произведено наблюдение, он может быть возвращен либо не возвращен в генеральную совокупность.
Повторной называют выборку, при которой отобранный объект (перед отбором следующего) возвращают в генеральную совокупность.
Бесповторной называют выборку, при которой отобранный объект не возвращается генеральную совокупность. На практике обычно пользуются бесповторным случайным отбором.
Для того, чтобы по выборке можно было достаточно уверенно судить о генеральной совокупности, необходимо, чтобы выборка правильно представляла генеральную совокупность. Это требование формулируется следующим образом: выборка должна быть репрезентативной (представительной).
На практике применяются различные способы отбора.
Отбор, не требующий разделения генеральной совокупности на части. Это может быть:
– простой случайный бесповторный отбор;
- простой случайный повторный отбор.
2. Отбор, при котором генеральная совокупность разбивается на части. Сюда относятся:
- типический отбор;
- механический отбор;
- серийный отбор.
Простым случайным называют такой отбор, при котором объекты извлекаются по одному из генеральной совокупности. Например, для извлечения n объектов из генеральной совокупности объема N поступают следующим образом: выписывают номера от 1 до N на карточки, которые тщательно перемешивают и наугад вынимают одну карточку. Затем её возвращают в пачку и повторяют этот процесс n раз. В итоге получается простая случайная повторная выборка объема n.
Если извлеченные карточки не возвращать в пачку, то выборка является простой случайной бесповторной. Если генеральная совокупность делится на типовые части, такой отбор называется типическим. Отбор типа «берется каждый третий объект из генеральной совокупности» называется механическим.
Серийным называется отбор, при котором объекты из генеральной совокупности отбираются не по одному, а сериями, которые подвергаются сплошному обследованию.
На практике часто применяются комбинированные отборы, при котором сочетаются указанные выше способы.