Практические задания по теме 6.2
Случайная величина Х задана интегральной функцией:
.
Найти
вероятность того, что в результате
испытания величина Х примет значение,
заключенное в интервале
.
Решение.
Вероятность того, что Х примет значение
из заданного интервала, равна приращению
интегральной функции в этом интервале,
т.е.
.
В нашем случае а
= 0 и b
= 0,33, потому
Дискретная случайная величина задана законом распределения:
-
Х
2
5
8
Р
0,6
0,1
0,3
Найти интегральную функцию F(х).
Решение. Так как интегральная функция строится последовательным суммированием вероятностей по интервалам, то:
при
F(х)=0,
т.к. здесь нет значения р;
при
F(х)=0
+0,6 = 0,6;
при
F(х)=0
+0,6+0,1 = 0,7;
при
F(х)=0
+0,6+0,1+0,3 = 1,0.
По этим результатам легко построить ступенчатый график функции F(х).
Непрерывная случайная величина задана дифференциальной функцией распределения
.
Найти вероятность того, что Х примет
значение, лежащее в интервале 1< x
<2.
Решение.
Воспользуемся
формулой:
.
Найти числовые характеристики непрерывной случайной величины, заданной в интервале 0< х <1 дифференциальной функцией
,
а вне интервала
.
Решение.
Математическое
ожидание:
.
Дисперсия:
.
Среднеквадратическое
отклонение:
.
Найти числовые характеристики случайной величины Х, равномерно распределенной в интервале 2< x <8.
Решение.
Закон равномерного распределения в
интервале имеет вид:
,
поэтому:
;
;
.
Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины а =10, а среднеквадратическое отклонение σ = 2. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из интервала 12 < X <14 и записать закон распределения.
Решение.
Подставляя в формулу закона значения
а
и σ,
получим:
.
Вероятность того, что Х примет значение
из интервала
имеет вид:
,
где Ф(х)
– функция Лапласа. Эта функция определяется
с помощью таблиц (см. приложения в [2-4,
7, 8, 9, 11] из списка литературы). В нашем
случае:
По таблице Ф(2)=0,4772;
Ф(1)=0,3413,
откуда
Тренировочные задания по теме 6.2.
1. Случайная величина Y – число выпавших гербов при бросании кубика. Найти закон распределения случайной величины Y.
Ответ.
-
0
1
0,5
0,5
Компьютер состоит из трех независимо работающих элементов: системного блока, монитора и клавиатуры. При резком однократном повышении температуры вероятность отказа элемента равна 0,1. Исходя из распределения Бернулли, составить закон распределения числа отказавших элементов при скачке напряжения в сети.
(Рассчитать самостоятельно.)
Непрерывная случайная величина задана дифференциальной функцией распределения
.
Найти вероятность того, что Х примет
значение, лежащее в интервале 1< x
<2.
Ответ: е (e-1).
4. Определить математическое ожидание, дисперсию и стандарт случайной величины Х, если её закон распределения задан таблицей:
-
Х
1
4
7
8
Р
0,4
0,1
0,3
0,2
Ответ. 3,70; 15,81; 3,98
5.
Найти числовые характеристики непрерывной
случайной величины, заданной в интервале
0< х
<1 дифференциальной функцией
,
а вне интервала
.
Ответ: 0,25; 0,1375.