1.2. Матрицы и действия с ними

Определение 1. Матрицей размерности называется прямоугольная таблица из чисел, расположенных в строках и столбцах (1.2).

Числа называются элементами матрицы. При этом первый индекс (i) указывает на номер строки, а второй (j) номер столбца, в котором расположен элемент .

Рассмотрим некоторые примеры матриц:

1. Матрица размерности называется квадратной матрицей порядка n. Общий вид квадратной матрицы:

(1.4)

Элементы квадратной матрицы , расположенный по прямой с левого верхнего угла до правого нижнего, называются элементами главной диагонали матрицы, а сама диагональ - главной диагональю матрица А.

2. Матрица – строка. Это матрица размерности :

3. Матрица – столбец. Это матрица вида:

(1.5)

4. Треугольная матрица: Это квадратная матрица, у которой элементы, расположенные под диагональю (или над диагональю) равны нулю, например:

(1.6)

Замечание. В обозначении часто используется черта: снизу – для строки, сверху – для столбца. Для простоты записи элементы строки или столбца иногда содержат один индекс.

Операции над матрицами

Определение 1. Две матрицы А и В называются равными (обозначается равенство А=В), если их размерности совпадают и соответствующие элементы равны, т.е. .

Например:

,

Определение 2. Суммой (разностью) двух матриц А и В одной размерности называется матрица С той же размерности (обозначается С=А±В), элементы которой определяются равенством: для всех i и j.

Определение 3. Произведением матрицы А на число  называется матрица В, элементы которой определяются равенством: для всех i и j.

Определение 4. Линейной комбинацией матриц А= (a_ij) и B=(b_ij), (например, λA+βB ) является такая матрица С=(с_ij), (С=λA+βB), каждый элемент которой есть соответствующая линейная комбинация элементов матриц А и В (т.е., с_ij =λ a_ij +β b_ij ).

Определение 5. Матрица называется транспонированной матрицей матрицы А=(а_ij) размерности nm, если строки матрицы А записать в виде столбцов, а столбцы матрицы А – в виде строк; при этом размерность матрицы =(а_ji) - mn.

Определение 6. Произведением матриц А=(a_is) размерности mk и В = (b_sj) размерности kn будет являться матрица С = (с_ij) размерности mn, элементы которой , то есть для получения элемента с_ij необходимо i–ю строку матрицы А умножить поэлементно на j-тый столбец матрицы В и полученные произведения сложить. Отсюда следует, что прямоугольные матрицы можно умножать, если число столбцов (k) 1-го сомножителя равен числу строк 2-го сомножителя.

В веденные операции сложения матриц и умножения матрицы на число называются линейными операциями над матрицами и обладают следующими свойствами:

1. А + В = В + А -свойство коммутативности сложения, или переместительный закон;

2. А + (В + С) = (А + В) + С - свойство ассоциативности сложения, или сочетательный закон ;

3. А + 0 = А

4. А + (-А) = 0

5. 1 А = А

6. ()А=(А) - свойство ассоциативности умножения матрицы на число;

7. ( + ) А = А + А

8.  ( А + В) = А + В

Свойства 7 и 8 называются свойствами дистрибутивности, или распределительный закон.

Замечание: Здесь роль нуля играем матрица, все элементы которой =0.