Вероятность события

В мире случайных явлений, хотя они и случайные, имеются закономерности, которые изучают с помощью понятия вероятности. Вероятность представляет собой количественную характеристику возможности наступления некоторого случайного события. Исторически сложились различные подходы к определению вероятности. Классическое определение вероятности сформировалось в XVII в. в результате анализа азартных игр и основано на понятии равновозможности событий. Равновозможность событий означает, что нет оснований предпочесть какое-либо одно из них другим. Например, появление орла или решки при одном подбрасывании монеты считают равновозможными событиями; случайный выбор какой-либо карты из колоды — тоже.

События являются равновозможными, если по условиям испытаний нельзя считать, что одно из них более возможно, чем другое.

Рассмотрим испытание, в результате которого может появиться событие А. Каждый исход, при котором осуществляется событие А, называется благоприятным событию А.

Пусть, например, событие А состоит в выпадении нечетного числа очков при одном бросании игральной кости. Из шести равновозможных исходов (от одного до шести очков) три исхода (1,3,5) являются благоприятными событию А.

Определение. Вероятностью события А называется отношение числа исходов, благоприятных событию А, к числу всех исходов испытания.

Например, вероятность появления четного числа очков при одном бросании игральной кости равна 1/2, т.к. число всех исходов 6, а число исходов, благоприятных событию А — три.

Вероятность события А обозначают Р(А); число исходов, благоприятных событию А, через т; число всех исходов — через п. Тогда по определению:

Эта формула носит название классической формулой вероятности.

Статистическое определение вероятности связано с пониманием частоты события. Относительная частота события вычисляется по формуле: , где - число появления события А в серии из испытаний. С увеличением числа опытов относительная частота обычно стабилизируется около некоторой постоянной величины.

Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства.

- Вероятность любого события заключена между нулем и единицей .

- Вероятность достоверного события равна единице.

- Вероятность невозможного события равна нулю.

Первое свойство следует из того, что число благоприятных исходов составляет часть от числа всех возможных исходов.

Второе свойство вытекает из того, что достоверное событие происходит при всяком испытании.

Третье свойство вытекает из того, что невозможное событие не имеет благоприятных исходов.

При решении задач на вычисление вероятностей возникают трудности, связанные с определением числа тех или иных исходов испытания. В таких случаях ис­пользуются комбинаторные формулы, которые мы обсуждали в предыдущей главе.

Теоремы сложения и умножения вероятностей

В теории вероятностей изучаются методы вычисления вероятностей случайных событий. Часто бывает так, что вероятность некоторого события С можно найти, зная вероятности других событий, связанных с событием С. Для этого прежде всего используются правила сложения и умножения вероятностей.

Теорема сложения вероятностей. Вероятность суммы несовместных событий A₁, А₂, ... , А_п, равна сумме вероятностей этих событий :

Если в единичном опыте обязательно должно произойти одно из событий A₁, А₂, ... , А_п,то такая группа событий называется полной группой событий. Сумма вероятностей несовместных событий, образующих полную группу, равна единице, т.е . Справедлива формула .

Определение. Условной вероятностью Р(А/В) называют вероятность события А, вычисленную в предположении, что произошло событие В.

Предположим, что при бросании игральной кости может наступить событие В: - «четное число очков» и событие А – «число очков меньше 6». Эти события могут произойти одновременно, т.е. совместно. Эту задачу решает следующая теорема.

Теорема умножения вероятностей.

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие имело место:

Если же появление одного из событий не меняет вероятности появления другого, то события называются независимыми. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей каждого из них:

Для приведенного выше примера можно определить: Р(В)=3/6=1/2 , т.к. четных очков – три (2,4,6) из шести возможных; Р(А/В)=2/6=1/3, т.к. событию А отвечает только два варианта (2,4). Тогда условная вероятность наступления события А при появлении события В: .