
- •Цели и задачи дисциплины
- •Содержание курса
- •1. Линейная алгебра
- •1.1. Система линейных алгебраических уравнений (слау).
- •1.2. Матрицы и действия с ними
- •1.3. Определители
- •1.4. Обратная матрица
- •Ранг матрицы
- •1.7. Элементы общей теории слау Условие совместности слау
- •Практические задания по теме 1
- •Тренеровочные задания по теме 1
- •Контрольные вопросы по теме 1
- •2. Аналитическая геометрия
- •2.1. Прямая на плоскости
- •Кривые второго порядка
- •Приведение общего уравнение кривой второго порядка к каноническому виду
- •Практические задания по теме 2
- •Тренировочные задания по теме 2
- •Контрольные вопросы по теме 2
- •3. Основные понятия теории множеств Определения , термины, символы
- •Основные числовые множества
- •Классификация функций
- •4.2. Предел функции
- •Теоремы о пределах
- •Вычисление пределов
- •Замечательные пределы
- •Тренировочные задания по темам 4.1, 4.2
- •Производная и дифференциал функции Определение производной, геометрический и физический смысл
- •Табличные производные
- •Правила дифференцирования
- •Производные высших порядков
- •Дифференциал функции
- •Тренировочные вопросы по теме 4.3
- •Контрольные вопросы по теме 4.3
- •4.4. Применения производной
- •Возрастание и убывание функции
- •Экстремумы функции
- •Т очки перегиба функции и их определение
- •Асимптоты функции
- •Общая схема исследования функции и построения графиков
- •Практические задания по теме 4.4
- •Тренировочные задания по теме 4.4
- •Неопределенный интеграл Первообразная функция и неопределенный интеграл
- •Методы интегрирования
- •Метод замены переменных
- •Метод интегрирования по частям
- •Определенный интеграл Определение. Формула Ньютона - Лейбница
- •Основные методы интегрирования
- •Применение определенного интеграла к вычислению площадей
- •Практические задания по темам 4.5, 4.6
- •Тренировочные задания по темам 4.5, 4.6.
- •5. Элементы комбинаторики Факториал
- •Перестановки, размещения, сочетания
- •Практические задания по теме 5
- •Тренировочные задания по теме 5
- •Контрольные вопросы по теме 5
- •6. Элементы теории вероятностей
- •6.1. Случайные события
- •Вероятность события
- •Теоремы сложения и умножения вероятностей
- •Формула полной вероятности событий и формула Байеса
- •Распределение Бернулли
- •Распределение Пуассона.
- •Практические задания по теме 6.1
- •Тренировочные задания по теме 6.1
- •Контрольные вопросы по теме 6.1
- •Случайные величины
- •Числовые характеристики дискретных случайных величин
- •Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •Практические задания по теме 6.2
- •Тренировочные задания по теме 6.2.
- •Контрольные вопросы по теме 6.2
- •7. Элементы математической статистики
- •Статистическое распределение выборки
- •Полигон и гистограмма
- •Статистические характеристики вариационных рядов
- •Оценки генеральной совокупности по выборке
- •Дополнительные характеристики вариационного ряда
- •Понятие о проверке статистических гипотез
- •Практические задания по теме 7
- •Тренировочные задания по теме 7
- •Контрольные вопросы по теме 7
- •Варианты
- •Тема 7 Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вопросы для подготовки к экзамену
- •Список литературы
- •Распределение учебного времени по темам и видам работ
- •Содержание
Вероятность события
В мире случайных явлений, хотя они и случайные, имеются закономерности, которые изучают с помощью понятия вероятности. Вероятность представляет собой количественную характеристику возможности наступления некоторого случайного события. Исторически сложились различные подходы к определению вероятности. Классическое определение вероятности сформировалось в XVII в. в результате анализа азартных игр и основано на понятии равновозможности событий. Равновозможность событий означает, что нет оснований предпочесть какое-либо одно из них другим. Например, появление орла или решки при одном подбрасывании монеты считают равновозможными событиями; случайный выбор какой-либо карты из колоды — тоже.
События являются равновозможными, если по условиям испытаний нельзя считать, что одно из них более возможно, чем другое.
Рассмотрим испытание, в результате которого может появиться событие А. Каждый исход, при котором осуществляется событие А, называется благоприятным событию А.
Пусть, например, событие А состоит в выпадении нечетного числа очков при одном бросании игральной кости. Из шести равновозможных исходов (от одного до шести очков) три исхода (1,3,5) являются благоприятными событию А.
Определение. Вероятностью события А называется отношение числа исходов, благоприятных событию А, к числу всех исходов испытания.
Например, вероятность появления четного числа очков при одном бросании игральной кости равна 1/2, т.к. число всех исходов 6, а число исходов, благоприятных событию А — три.
Вероятность события А обозначают Р(А); число исходов, благоприятных событию А, через т; число всех исходов — через п. Тогда по определению:
Эта формула носит название классической формулой вероятности.
Статистическое
определение вероятности связано
с пониманием частоты
события.
Относительная частота события вычисляется
по формуле:
,
где
- число появления события А в серии из
испытаний. С увеличением числа опытов
относительная частота обычно
стабилизируется около некоторой
постоянной величины.
Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства.
-
Вероятность
любого события заключена между нулем
и единицей
.
- Вероятность достоверного события равна единице.
- Вероятность невозможного события равна нулю.
Первое свойство следует из того, что число благоприятных исходов составляет часть от числа всех возможных исходов.
Второе свойство вытекает из того, что достоверное событие происходит при всяком испытании.
Третье свойство вытекает из того, что невозможное событие не имеет благоприятных исходов.
При решении задач на вычисление вероятностей возникают трудности, связанные с определением числа тех или иных исходов испытания. В таких случаях используются комбинаторные формулы, которые мы обсуждали в предыдущей главе.
Теоремы сложения и умножения вероятностей
В теории вероятностей изучаются методы вычисления вероятностей случайных событий. Часто бывает так, что вероятность некоторого события С можно найти, зная вероятности других событий, связанных с событием С. Для этого прежде всего используются правила сложения и умножения вероятностей.
Теорема сложения вероятностей. Вероятность суммы несовместных событий A1, А2, ... , Ап, равна сумме вероятностей этих событий :
Если
в единичном опыте обязательно должно
произойти одно из событий A1,
А2,
... , Ап,то
такая группа событий называется полной
группой событий.
Сумма вероятностей несовместных событий,
образующих полную группу, равна единице,
т.е
.
Справедлива
формула
.
Определение. Условной вероятностью Р(А/В) называют вероятность события А, вычисленную в предположении, что произошло событие В.
Предположим, что при бросании игральной кости может наступить событие В: - «четное число очков» и событие А – «число очков меньше 6». Эти события могут произойти одновременно, т.е. совместно. Эту задачу решает следующая теорема.
Теорема умножения вероятностей.
Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие имело место:
Если же появление одного из событий не меняет вероятности появления другого, то события называются независимыми. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей каждого из них:
Для
приведенного выше примера можно
определить: Р(В)=3/6=1/2 , т.к. четных очков
– три (2,4,6) из шести возможных;
Р(А/В)=2/6=1/3, т.к. событию А отвечает только
два варианта (2,4). Тогда условная
вероятность наступления события А при
появлении события В:
.