Практические задания по теме 5

1. При расследовании хищения установлено, что у преступника семизначный телефонный номер, в котором на одна цифра не повторяется. Следователь, полагая, что перебор этих номеров займет не более часа, доложил о раскрытии преступления. Прав ли он?

Известно, что любое число может быть записано с использованием десяти цфр:0,1,…,9. Так как телефонные номера обычно не начинаются с нуля, то задача состоит в вычислении числа комбинаций из десяти различных цифр по 7. Очевидно, что это – размещение по семи различным местам семи из девяти различных цифр, т.е. номеров. Даже если на проверку одного номера тратить 1 минуту, то на проверку уйдет 3024 часа. Таким образом, следователь – не прав.

2. Сколькими способами 7 различных книг можно расставить на полке в один рад?

Так как порядок книг по условию значения не имеет, то имеем задачу о числе перестановок семи книг. Следовательно, способов.

4. В розыгрыше первенства по футболу среди вузов принимает участие 16 команд, при этом две команды играют между собой только один матч. Сколько всего календарных игр?

Данная задача – о числе выборок из 16 по 2. Таким образом, игр.

Тренировочные задания по теме 5

1. Вычислить .

Ответ: 1020.

2. В группе 12 студентов. Сколькими способами их можно разбить на бригады по 5 человек?

Ответ: 792.

3. В оперативной группе 14 курсантов и 4 офицера. Сколькими способами можно назначить наряд, состоящий из трех солдат и одного офицера?

Ответ: 2188.

4. Сколькими способами можно составить шестизначное число, в состав которого входят две тройки и три пятерки?

Ответ: 60.

5. Вычислите: .

Ответ. 26905.

Контрольные вопросы по теме 5

1. Факториал.

2. Размещения. Размещения с повторениями.

3. Перестановки. Перестановки с повторениями.

4. Сочетания. Сочетания с повторениями.

Литература. А: 2-4, 6, 7, 8. Б: 8.

6. Элементы теории вероятностей

6.1. Случайные события

Теория вероятностей занимается изучением закономерностей случайных событий и случайных величин при массовом их появлении.

Под случайным событием в теории вероятностей понимается событие, которое в результате опыта (испытания) может произойти или не произойти.

Все наблюдаемые при определенных условиях события можно разделить на три вида: достоверные, невозможные и случайные

Достоверным называют такое событие, которое происходит при каждом испытании.

Невозможным называют событие, которое не может произойти ни при одном испытании.

Случайным называют событие, которое в данном испытании может произойти, а может и не произойти.

Пример 1. В урне имеются шары только синего и красного цвета. Наугад вынимают один шар. Событие, состоящее в том, что вынут либо синий, либо красный шар — достоверное. Событие, состоящее в том, что вынут шар белого цвета — невозможное. Событие «вынут шар красного цвета» (или событие «вынут шар синего цвета») является случайным.

Пример 2. Стрелок производит один выстрел по мишени, разделенной на 10 зон. Выстрел — это испытание; попадание в определенную зону, например, в «десятку» — событие; событие, состоящее в том, что мишень либо поражена, либо не поражена — достоверное событие; поражение одним выстрелом сразу трех зон — невозможное событие.

Случайные события будем обозначать буквами А, В, С, ... , достоверное событие — символом  , невозможное событие — символом .

Если событие А не произошло, то говорят, что произошло событие . Так вводится понятие противоположного события. Например, событие А состоит в появлении «решки» при подбрасывании монеты. Если при подбрасывании появился «орел», говорят, что произошло событие .

Случайные события A₁, А₂, ... , А_п, называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

Суммой событий A₁, А₂, ... , А_п называется событие, состоящее в одновременном появлении всех этих событий.

Произведением событий A₁, А₂, ... , А_п называется событие, состоящее в одновременном появлении всех этих событий.