Практические задания по темам 4.5, 4.6

Вычислить неопределенные интегралы:

1. .

2.

3. .

4. .

5. . Интегралы такого типа вычисляются с помощью формулы интегрирования по частям.

6. Вычислить определенный интеграл .

Находим первообразную подинтегральной функции: . Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница:

7. Вычислить определенный интеграл . Как и предыдущем примере, найдем первообразную подинтегральной функии и воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница.

.

8. Вычислить площадь фигуры, образованной осью ОХ и линией ограниченной кривыми на интервале . Выполним эскиз, который показывает, что линия пересекает ось ОХ в двух точках: ; . Вторую точку отбросим, как не вошедшую в заданный интервал. При вычислении площади разобьем интеграл на два слагаемых, для того, чтобы не допустить потери знаков. Тогда искомая площадь определится следующим образом:

Таким образом, искомая площадь S=97/3 квадр. единиц.

Тренировочные задания по темам 4.5, 4.6.

Вычислить неопределенные интегралы:

1. ; 2. ;

Ответ: . Ответ: .

3. ; 4. ;

Ответ: . Ответ: .

5. ; 6. ;

Ответ: . Ответ: .

7. ; 8. ;

Ответ: . Ответ: .

Вычислить интеграл, используя метод интегрирования по частям

9. ; 10. ;

Ответ: . Ответ: .

Вычислить интегралы:

11. ; 12. ;

Ответ: 0,75. Ответ: .

13. ; 14.

Ответ: 1/3. Ответ: 0,87.

15. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой у = х², прямой у = 8 и осью ОУ.

Ответ: 12.

16. Найти площадь фигуры, заключенной между кривой у = 4 – х² и осью ОХ.

Ответ: 10 .

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ПО ТЕМАМ 4.5, 4.6

1. Понятие неопределенного интеграла.

2. Свойства неопределенного интеграла.

3. Таблица интегралов основных элементарных функций.

4. Метод замены переменных.

5. Метод интегрирования по частям.

6. Определенный интеграл. Свойства определенного интеграла.

7. Формула Ньютона-Лейбница.

8. Геометрический смысл определенного интеграла.

9. Методы вычисления определенного интеграла.

10. Вычисление площадей с помощью определенного интеграла.

Литература. А: 1-6, 10,11; В: 7,8.

5. Элементы комбинаторики Факториал

Определение. Факториалом целого положительного числа n называется произведение 1·2·3·…·(n-1)n. Обозначается . Например: 6!=1·2·3·4·5·6=720.

Свойства факториала:

1. Применяется: 0!=1; 1!=1.

2. Факториал можно разделить: или . Например: 6!=1·2·3·4·5·6=5! ·6 или 6!= 4!·5·6.

3. .

Перестановки, размещения, сочетания

При решении комбинаторных задач мы имеем дело с комбинациями из некоторых предметов. Эти комбинации могут отличаться одна от другой числом предметов, их составом или порядком.

Определение 1. Перестановкой из п элементов называется всякое упорядоченное множество, в которое входит по одному разу все n элементов данного множества.

Формула числа всех различных перестановок из п элементов без повторений этих элементов: .

Пример: сколько чисел можно записать из цифр:1,2,3? Очевидно, любое число перестановка указанных цифр. Следовательно, их трех цифр можно построить 3!= 1·2·3 = 6 чисел.

Рассмотрим случай с повторениями. Если каждый элемент множества взять по два раза, получим

Определение 2. Перестановки из п элементов, в каждую из которых входят одинаковых объектов одного типа, - второго типа и т.д. до - k-того типа называются перестановками из п элементов с повторениями.

Число всех таких элементов с повторениями:

.

Для примера: .

Определение 3. Размещением из п элементов по k называется всякая перестановка из k элементов, выбранных каким-либо способом из данных п.

Число всех размещений из п элементов по k обозначается.

Формула число всех размещений из п элементов по k вычисляется по формуле:

Определение 4. Размещения из п элементов, в каждое из которых входит k элементов, причем один элемент может повторяться в каждом размещении, любое количество раз, но не более k раз, называется размещением с повторением.

Формула для расчета: .

Для примера: .

Определение 5. Сочетанием из п элементов по k называется всякая совокупность k элементов, выбранных каким-либо способом из данных п элементов.

Число всех сочетаний из п элементов по k обозначается .

Формула для расчета: .

Для примера: .

Определение 6. Сочетанием из п элементов с повторением называются соединения, содержащие k элементов (без учета порядка следования), причем любой объект может входить в соединение любое число раз, но не более k.

Формула для расчета: .

Пример. Сколькими способами млжно выбрать четыре монеты их четырех пятирублевых и четырех рублевых монет? Это задача о числе сочетаний из двух по четыре с повторением: