Тренировочные задания по теме 4.4

Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя

1. ; 2.

Ответ: 1,25. Ответ: 0.

3. Определить экстремумы функции у = 4х³ + 3х² - 2х +8.

Ответ:

4. Определить выпуклость функции у = 4х⁵ - 3х⁴ +5.

5. Выполнить полное исследование функции: у = 2х - 5х³.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ПО ТЕМЕ 4.4

1. Правило Лопиталя.

2. Возрастание и убывание функции.

3. Необходимые и достаточные условия экстремума функции.

4. Выпуклость и вогнутость функции.

5. Точки перегиба. Необходимые и достаточные условия точек перегиба функции

6. Асимптоты.

7. Общая схема исследования функции и построения графика.

Литература: А: 1-6, 10,11; В: 7,8.

5. Неопределенный интеграл Первообразная функция и неопределенный интеграл

Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной или дифференциала функции. Интегральной исчисление решает обратную задачу – нахождение самой функции по ее известной производной или дифференциалу.

Определение 1. Функция F(х) является первообразной функцией для функции , если . Например, является первообразной для функции , т.к. .

Определение 1. Совокупность всех первообразных для функции называется неопределенным интегралом от функции и обозначается , где - знак интеграла, - подинтегральная функция, - подинтегральное выражение. Таким образом, , где F(х) – некоторая первообразная для , С – произвольная постоянная.

Операция нахождения неопределенного интеграла называется интегрированием функции.

Свойства неопределенного интеграла

Основные свойства неопределенного интеграла:

1. Постоянную можно выносить за знак интеграла, т.е. .

2. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов этих функций: .

3. (из определения).

4. .

Т.к. интегрирование и дифференцирование являются взаимообратными операциями, результат интегрирования можно проверить дифференцированием.

Интегралы основных элементарных функций

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

К этой таблице в процессе решения задач удобно добавлять часто встречающиеся формулы, т.е. создавать индивидуальную таблицу интегралов в зависимости от профессиональных интересов.

Методы интегрирования

Метод разложения (непосредственное интегрирование)

С помощью свойств неопределенного интеграла и таблицы интегралов от элементарных функций возможно отыскание первообразных для несложных алгебраических выражений. Например:

.

В большинстве случаев для приведения к табличным интегралам необходимо выполнить предварительные преобразования подинтегрального выражения. Например:

Метод замены переменных

Часто подинтегральное выражение можно упростить, используя метод замены переменных (метод подстановки). Основная идея метода состоит в том, что в выражение вводится вспомогательная переменная t, связанная с х известной зависимостью: . Тогда подинтегральное выражение преобразуется к новому виду . Если после такого преобразования новый интеграл является табличным или значительно проще исходного, можно считать, что цель достигнута. Например: