
- •Цели и задачи дисциплины
- •Содержание курса
- •1. Линейная алгебра
- •1.1. Система линейных алгебраических уравнений (слау).
- •1.2. Матрицы и действия с ними
- •1.3. Определители
- •1.4. Обратная матрица
- •Ранг матрицы
- •1.7. Элементы общей теории слау Условие совместности слау
- •Практические задания по теме 1
- •Тренеровочные задания по теме 1
- •Контрольные вопросы по теме 1
- •2. Аналитическая геометрия
- •2.1. Прямая на плоскости
- •Кривые второго порядка
- •Приведение общего уравнение кривой второго порядка к каноническому виду
- •Практические задания по теме 2
- •Тренировочные задания по теме 2
- •Контрольные вопросы по теме 2
- •3. Основные понятия теории множеств Определения , термины, символы
- •Основные числовые множества
- •Классификация функций
- •4.2. Предел функции
- •Теоремы о пределах
- •Вычисление пределов
- •Замечательные пределы
- •Тренировочные задания по темам 4.1, 4.2
- •Производная и дифференциал функции Определение производной, геометрический и физический смысл
- •Табличные производные
- •Правила дифференцирования
- •Производные высших порядков
- •Дифференциал функции
- •Тренировочные вопросы по теме 4.3
- •Контрольные вопросы по теме 4.3
- •4.4. Применения производной
- •Возрастание и убывание функции
- •Экстремумы функции
- •Т очки перегиба функции и их определение
- •Асимптоты функции
- •Общая схема исследования функции и построения графиков
- •Практические задания по теме 4.4
- •Тренировочные задания по теме 4.4
- •Неопределенный интеграл Первообразная функция и неопределенный интеграл
- •Методы интегрирования
- •Метод замены переменных
- •Метод интегрирования по частям
- •Определенный интеграл Определение. Формула Ньютона - Лейбница
- •Основные методы интегрирования
- •Применение определенного интеграла к вычислению площадей
- •Практические задания по темам 4.5, 4.6
- •Тренировочные задания по темам 4.5, 4.6.
- •5. Элементы комбинаторики Факториал
- •Перестановки, размещения, сочетания
- •Практические задания по теме 5
- •Тренировочные задания по теме 5
- •Контрольные вопросы по теме 5
- •6. Элементы теории вероятностей
- •6.1. Случайные события
- •Вероятность события
- •Теоремы сложения и умножения вероятностей
- •Формула полной вероятности событий и формула Байеса
- •Распределение Бернулли
- •Распределение Пуассона.
- •Практические задания по теме 6.1
- •Тренировочные задания по теме 6.1
- •Контрольные вопросы по теме 6.1
- •Случайные величины
- •Числовые характеристики дискретных случайных величин
- •Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •Практические задания по теме 6.2
- •Тренировочные задания по теме 6.2.
- •Контрольные вопросы по теме 6.2
- •7. Элементы математической статистики
- •Статистическое распределение выборки
- •Полигон и гистограмма
- •Статистические характеристики вариационных рядов
- •Оценки генеральной совокупности по выборке
- •Дополнительные характеристики вариационного ряда
- •Понятие о проверке статистических гипотез
- •Практические задания по теме 7
- •Тренировочные задания по теме 7
- •Контрольные вопросы по теме 7
- •Варианты
- •Тема 7 Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вопросы для подготовки к экзамену
- •Список литературы
- •Распределение учебного времени по темам и видам работ
- •Содержание
4.4. Применения производной
Вычисление пределов по правилу Лопиталя
Часто раскрыть неопределенностей типа 0/0, ∞/∞, 0∞, ∞ - ∞, 0∞. в задачах о пределах помогает правило Лопиталя:
и
т.д.,
т.е., отношение функций заменяется отношением их производных до тех пор, пока неопределенность не исчезнет.
З
амечание.
При отсутствии неопределенности правило
Лопиталя применять нельзя!
Возрастание и убывание функции
Пользуясь геометрическим свойством производной, можно показать, что если производная функции положительна на интервале, то функция на этом интервале возрастает,
если производная отрицательна, то функция убывает. Точки, в которых производная функции равна нулю ( ) называются стационарными и часто характеризуют момент смены возрастания функции на убывание и наоборот. Таких точек на интервале может быть несколько.
Экстремумы функции
Среди
стационарных точек выделим экстремальные:
функция
имеет максимум (минимум) в точке
,
если вблизи этой точки всем значениям
х
соответствует
меньшее
(большее), чем
.
Необходимые условия экстремума:
Если
функция
имеет экстремум в точке
,
то в этой точке ее производная
либо равна нулю, либо не существует.
Выполнение необходимых условий еще не гарантируют присутствие экстремума. Кроме того. Оно не дает ответа о типе экстремума- минимуме или максимуме. Кроме того, оно может иметь место и не в экстремальных точках, что показано на рисунке.
Чтобы установить наличие и тип экстремума, следует проверить достаточные условия экстремума.
Первое достаточное условие экстремума: Если в стационарной точке производная меняет знак с плюса на минус (с возрастания на убывание) то функция в этой точке имеет максимум, если с минуса на плюс – минимум.
Иногда удобно использовать второе достаточное условие:
Если
в стационарной точке
вторая производная
положительна, то функция
в этой точке имеет минимум,
если отрицательна – максимум.
Схема определения экстремума функции :
-
определяем производную
;
-
находим стационарные точки функции из
анализа области определения производной
и уравнения
;
-
проверяем выбираем первое или второе
достаточное условие (в последнем случае
находим
;
- исследуем стационарные точки по достаточному условию, определяем наличие и вид экстремума;
-вычисляем
экстремальные значения функции
.
Результаты анализа функции на экстремум удобно представлять в виде таблице (ниже приводится в примере 1).
Замечание:
Если интервал изменения функции ограничен, часто возникает задача отыскания наибольшего и наименьшего значения функции на интервале . В этом случае не только сравнивают экстремумы на интервале, но и проверяют значения функции на концах интервала.
Т очки перегиба функции и их определение
Функция называется выпуклой на интервале , если любая секущая пересекает линию кривой функции не больше, чем в двух точка. При этом, если значения функции на этом интервале находятся выше секущей, функция является выпуклой вверх (выпуклой), если ниже секущей – выпуклой вниз (вогнутой). Точка, в которой выпуклость сменяется на вогнутость (или наоборот) называ-ется точкой перегиба функции .
Исследование функции на точки перегиба осуществляются с помощью второй производной функции по следующим правилам:
- если значения второй производная на интервале отрицательны, то функция выпукла на этом интервале;
- если значения второй производная на интервале положительные, то функция вогнута на этом интервале;
Необходимые условия для точек перегиба:
Если вторая производная функции в точке либо равна нулю, либо не существует, либо бесконечна, эта точка может быть точкой перегиба.
Если при переходе через эту точку меняет знак, то это – достаточное условие перегиба.
Схема исследования функции на точки перегиба:
- определяем производную ;
-
находим стационарные точки из анализа
области определения второй производной
и решения уравнения
;
- определяем знаки второй производной в интервалах между вычисленными точками и устанавливаем наличие точек перегиба и типы изгиба функции.
Результаты анализа функции на экстремум удобно представлять в виде таблице (ниже приводится в примере 1).