Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
УМК Математика.doc
Скачиваний:
3
Добавлен:
01.05.2025
Размер:
2.51 Mб
Скачать

4.4. Применения производной

Вычисление пределов по правилу Лопиталя

Часто раскрыть неопределенностей типа 0/0, ∞/∞, 0∞, ∞ - ∞, 0. в задачах о пределах помогает правило Лопиталя:

и т.д.,

т.е., отношение функций заменяется отношением их производных до тех пор, пока неопределенность не исчезнет.

З амечание. При отсутствии неопределенности правило Лопиталя применять нельзя!

Возрастание и убывание функции

Пользуясь геометрическим свойством производной, можно показать, что если производная функции положительна на интервале, то функция на этом интервале возрастает,

если производная отрицательна, то функция убывает. Точки, в которых производная функции равна нулю ( ) называются стационарными и часто характеризуют момент смены возрастания функции на убывание и наоборот. Таких точек на интервале может быть несколько.

Экстремумы функции

Среди стационарных точек выделим экстремальные: функция имеет максимум (минимум) в точке , если вблизи этой точки всем значениям х соответствует меньшее (большее), чем .

Необходимые условия экстремума:

Если функция имеет экстремум в точке , то в этой точке ее производная либо равна нулю, либо не существует.

Выполнение необходимых условий еще не гарантируют присутствие экстремума. Кроме того. Оно не дает ответа о типе экстремума- минимуме или максимуме. Кроме того, оно может иметь место и не в экстремальных точках, что показано на рисунке.

Чтобы установить наличие и тип экстремума, следует проверить достаточные условия экстремума.

Первое достаточное условие экстремума: Если в стационарной точке производная меняет знак с плюса на минус (с возрастания на убывание) то функция в этой точке имеет максимум, если с минуса на плюс – минимум.

Иногда удобно использовать второе достаточное условие:

Если в стационарной точке вторая производная положительна, то функция в этой точке имеет минимум, если отрицательна – максимум.

Схема определения экстремума функции :

- определяем производную ;

- находим стационарные точки функции из анализа области определения производной и уравнения ;

- проверяем выбираем первое или второе достаточное условие (в последнем случае находим ;

- исследуем стационарные точки по достаточному условию, определяем наличие и вид экстремума;

-вычисляем экстремальные значения функции .

Результаты анализа функции на экстремум удобно представлять в виде таблице (ниже приводится в примере 1).

Замечание:

Если интервал изменения функции ограничен, часто возникает задача отыскания наибольшего и наименьшего значения функции на интервале . В этом случае не только сравнивают экстремумы на интервале, но и проверяют значения функции на концах интервала.

Т очки перегиба функции и их определение

Функция называется выпуклой на интервале , если любая секущая пересекает линию кривой функции не больше, чем в двух точка. При этом, если значения функции на этом интервале находятся выше секущей, функция является выпуклой вверх (выпуклой), если ниже секущей – выпуклой вниз (вогнутой). Точка, в которой выпуклость сменяется на вогнутость (или наоборот) называ-ется точкой перегиба функции .

Исследование функции на точки перегиба осуществляются с помощью второй производной функции по следующим правилам:

- если значения второй производная на интервале отрицательны, то функция выпукла на этом интервале;

- если значения второй производная на интервале положительные, то функция вогнута на этом интервале;

Необходимые условия для точек перегиба:

Если вторая производная функции в точке либо равна нулю, либо не существует, либо бесконечна, эта точка может быть точкой перегиба.

Если при переходе через эту точку меняет знак, то это – достаточное условие перегиба.

Схема исследования функции на точки перегиба:

- определяем производную ;

- находим стационарные точки из анализа области определения второй производной и решения уравнения ;

- определяем знаки второй производной в интервалах между вычисленными точками и устанавливаем наличие точек перегиба и типы изгиба функции.

Результаты анализа функции на экстремум удобно представлять в виде таблице (ниже приводится в примере 1).