0. Одноэтапная модель с учетом затрат на оформление заказа

Рассмотрим обобщение модели, приведенной в предыдущем параграфе. Пусть – случайный спрос с плотностью – планируемый уровень запасов, – начальный уровень запасов, – удельные издержки, связанные с хранением (нехваткой) одной единицы продукции. Кроме того, предположим, что затраты на закупку дополнительной продукции имеют вид

,

где – цена подачи (или оформления) заказа, – стоимость одной единицы продукции. Тогда полная функция издержек имеет вид:

Обозначим математическое ожидание издержек как

.

Рис. 2.1

Легко видеть, что

,

где

,

.

Используя результаты предыдущего параграфа, получаем

,

где – функция распределения спроса .

Значит, минимум функции достигается в точке , удовлетворяющей уравнению

. (2.5)

Обозначим решение уравнения (2.5) через . Поскольку функция отличается от функции на константу, то минимум достигается в той же точке .

Из уравнения (2.5) следует, что функции и слева от точки убывают, а справа от нее – возрастают. Поэтому в типичной ситуации (см. Рис. 2.1) существует точка такая, что

.

Заметим, что если , то , а если , то . Поэтому, если начальный запас , то средние издержки без подачи заказа равны , и т.к. , то имеет смысл заказать партию товара размера . В этом случае издержки будут все равно меньше (они равны ). Если же , то и

,

и подавать заказ не выгодно. Ясно, что если , то делать дополнительный заказ также не выгодно.

Стратегию такого вида называют еще – стратегией.

0. Многоэтапная модель управления запасами

Рассмотрим теперь тот случай, когда товар не портится и может продаваться в течение нескольких сезонов. Предположим, что спрос на товар случаен. Кроме того, если торговая фирма заказывает дополнительную партию товара у поставщика, то время исполнения заказа тоже может быть случайным. Общепринятая практика состоит в том, что фирма заказывает партию товара размера , если уровень запасов на складе упал до критической отметки . За время выполнения заказа какое-то случайное количество товара будет куплено.

Обозначим через функцию плотности, аппроксимирующую плотность случайной величины спроса в течение времени исполнения заказа:

, (2.6)

обозначает функцию распределения спроса в течение времени исполнения заказа.

Сразу после прибытия заказанной партии объема уровень запасов равняется , в то время как уровень запасов в конце времени ожидания равняется . Расходы на содержание запасов производятся лишь в том случае, когда запасы неотрицательны. Математические ожидания запасов в начале и конце периода поставки пополнения равны соответственно

и .

Поэтому затраты на содержание запасов пропорциональны среднему арифметическому этих двух величин:

. (2.7)

Хотя спрос имеет случайный характер, мы по-прежнему предположим, что среднее число заказов в течение года равно , т.е. такое же, как и в детерминированной модели. Поэтому годовая стоимость подачи заказов равна . Наконец, издержки, связанные с дефицитом, возникают всякий раз, когда . Ожидаемые потери от дефицита в течение периода равны

, (2.8)

а соответствующие годовые потери равны

. (2.9)

Таким образом, годовые издержки всей системы управления запасами, которые мы обозначим через , равны

. (2.10)

При выводе этой функции мы фактически не вели учета неудовлетворенных требований. В случае, когда издержки дефицита велики, различие между моделями с учетом и без учета неудовлетворенных требований будут незначительны, поскольку системы будут стремиться к тому, чтобы сделать случаи дефицита более редкими.

Для того, чтобы найти оптимальные значения и , надо найти точку стационарности функции . Получаются два уравнения:

, (2.11)

0, (2.12)

где . Эту систему уравнений можно решить итерациями.

Предположим, что в выражении для опущены интегральные члены. Тогда оптимальное задается известной формулой Уилсона:

.

Подставляя в (2.12), получаем, что оптимальное (в первом приближении) находится из уравнения

.

Подставляя в (2.11) и решая относительно , получаем 2-ую итерацию . Подставляя в (2.12) и решая относительно , получаем вторую итерацию и т.д. Через некоторое число шагов итерации практически перестанут изменяться и это будет означать, что мы нашли оптимальные значения . Конечно, решение уравнений (2.11)-(2.12) в общем случае потребует применения численных методов, но даже первая итерация может служить разумным выбором параметров .