Приложение Сводка определений и теорем теории вероятностей и математической статистики

1. Множество всех возможных исходов случайного эксперимента называют пространством элементарных исходов, элемент называется элементарным событием.

2. Класс A подмножеств пространства называется -алгеброй множеств, если

а) Ø A, A

б) если A, то A

в) если A, , то

A, A.

3. Вероятностным пространством называется тройка A , где –пространство элементарных событий, A – -алгебра подмножеств , называемых событиями, – числовая функция на -алгебре A, называемая вероятностью, если выполнены аксиомы:

а) для всех A

б) (условие нормировки вероятности)

в) Если события – попарно несовместны (т.е. Ø при ), то

(аксиома -аддитивности).

4. Условной вероятностью события при условии, что произошло событие , называется отношение:

.

5. События образуют полную группу событий, если они удовлетворяют условиям:

Ø при , .

6. Теорема (формула полной вероятности). Пусть образуют полную группу событий, . Тогда для любого события

.

7. Теорема (формула Байеса). Пусть образуют полную группу событий, . Тогда

.

8. Два события и называются независимыми, если

.

События независимы в совокупности, если

для любого набора индексов .

9. Отображение называется случайной величиной, если для любого числа множество

A.

10. Функцией распределения случайной величины называется функция

.

11. Случайная величина имеет дискретное распределение, если она принимает конечное или счетное число значений , причем

.

12. Случайная величина имеет абсолютно непрерывное распределение, если существует такая функция , что для любых

.

Функция называется плотностью распределения случайной величины .

13. Пусть на вероятностном пространстве A задано несколько случайных величин . Многомерной функцией распределения величин называется функция переменных

.

Многомерной плотностью распределения называется такая функция, что

,

где – произвольная область в .

14. Случайные величины называются независимыми, если

или

для любых интервалов в .

15. Формула свертки. Пусть и – независимые случайные величины, и – их плотности. Тогда плотность распределения суммы равна

.

16. Пусть – дискретная случайная величина, принимающая значения . Математическим ожиданием случайной величины называется число

при условии, что ряд абсолютно сходится.

Если – случайная величина с плотностью , то ее математическое ожидание определяется как

при условии, что интеграл абсолютно сходится.

17. Дисперсией случайной величины называется число

(при условии, что правая часть определена).

18. Коэффициентом ковариации случайных величин и называется число

.

Коэффициент корреляции определяется как

.

19. Случайная величина имеет биномиальное распределение с параметрами и , ~ , если

,

– натуральное число.

.

20. Случайная величина имеет отрицательное биномиальное распределение с параметрами и , ~ , если

,

– натуральное число

.

21. Случайная величина имеет геометрическое распределение с параметром , ~ , если

,

.

.

22. Случайная величина имеет распределение Пуассона с параметром , ~ , если

,

.

.

23. Случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке , ~ , если ее плотность распределения

.

24. Случайная величина имеет нормальное (или гауссовское) распределение с параметрами ~ , если ее плотность распределения

,

.

.

25. Случайная величина имеет логнормальное распределение, ~ , если ~ .

.

26. Случайная величина имеет гамма-распределение, ~ , если ее плотность распределения

– гамма-функция, .

.

27. Случайная величина имеет показательное распределение, ~ , если ее плотность распределения

.

.

Показательное распределение является частным случаем гамма-распределения, ~ . Для распределения мы используем также обозначение .

28. Случайная величина имеет распределение Эрланга, ~ , если может быть представлена в виде суммы независимых величин ~ :

.

Распределение Эрланга является частным случаем гамма-распределения, ~ .

29. Случайная величина имеет хи-квадрат с степенями свободы, ~ , если справедливо представление

,

где величины независимы между собой и имеют распределение .

Хи-квадрат распределение является частным случаем гамма-распределения, ~ .

30. Случайная величина имеет распределение Стьюдента с степенями свободы, ~ , если справедливо представление , где и – независимые случайные величины, ~ ~ . Распределение Стьюдента имеет плотность

.

.

31. Случайная величина имеет бета-распределение с параметрами и , ~ , если ее плотность распределения

,

.

.

32. Случайная величина имеет распределение Вейбулла с параметрами и , если ее плотность распределения

.

.

33. Случайная величина имеет распределение Парето с параметрами и , если ее плотность распределения

, .

(существует при ),

(существует при ).

34. Последовательность сходится почти наверное (п.н.) к случайной величине , если

.

35. Последовательность сходится по вероятности к случайной величине , если для любого

.

36. Последовательность сходится по распределению к , если в любой точке , в которой функция непрерывна. Здесь , .

37. Теорема (закон больших чисел). Если независимы и существует такая константа , что , то

.

Следствие. Если независимы и одинаково распределены, , то

.

38. Центральная предельная теорема. Пусть – независимые одинаково распределенные случайные величины, . Если , то

,

где ~ .

39. Пусть функция распределения случайной величины принадлежит семейству функций распределения , – множество значений параметра . Наблюдения рассматриваются как реализация выборки , элементы которой независимы и имеют функцию распределения . Функция от выборки называется статистикой или оценкой параметра .

Оценка параметра называется несмещенной, если

для всех .

40. Статистика является несмещенной статистикой математического ожидания и называется выборочным средним.

Статистика является несмещенной статистикой дисперсии и называется выборочной дисперсией.

41. Пусть задана выборка независимых наблюдений над случайной величиной . Функция

,

где

называется эмпирической функцией распределения.

42. Теорема Колмогорова. Пусть . Если функция распределения непрерывна, то

.

На основе этой теоремы строится критерий Колмогорова. Пусть – уровень значимости. По таблицам находится значение такое, что . Если то мы принимаем гипотезу о том, что имеет функцию распределения, равную . В противном случае мы отвергаем эту гипотезу.

43. Критерий Пирсона. Пусть наша гипотеза состоит в том, что случайная величина имеет функцию распределения . Выберем точки и вычислим вероятности . Обозначим через число элементов выборки , для которых . Тогда, если верна гипотеза, то распределение статистики

при сходится к -распределению с степенью свободы. Выбирая уровень значимости по таблицам -распределения, находим значение такое, что

.

Если , то гипотеза принимается, в противном случае отвергается.