7.2. Моделирование случайных процессов в страховой и финансовой математике

В главе 4 мы ввели понятие процесса риска, описывающего эволюцию капитала страховой компании во времени. Процесс был определен как сложный пуассоновский процесс

,

где – независимые случайные величины, задающие размеры страховых выплат, – пуассоновский случайный процесс, независимый от величин . моделирует количество страховых случаев за время .

Случайная величина имеет пуассоновское распределение с параметром

(7.7)

но моделировать как дискретную величину с помощью общего алгоритма сложно, поскольку число значений бесконечно и при достаточно больших вероятности в (7.7) являются машинными нулями.

Из главы 4 известно, что пуассоновский процесс является случайным потоком, в котором времена между поступлениями заявок независимы и распределены по закону . Величины могут быть представлены в виде

~ .

Значит

.

Отсюда алгоритм:

1. Генерировать случайные числа из распределения

2. Вычислять произведения до тех пор, пока не выполнится условие

3. Положить . Если , то положить .

Чтобы промоделировать величину , сначала надо промоделировать . Если , то надо раз обратиться к датчику случайных величин (предполагается, что они имеют одну и ту же функцию распределения ) и затем суммировать полученные случайные числа.

Предположим, что начальный капитал страховой фирмы равняется , а интенсивность страховых сборов равна . Поставим вопрос об оценке вероятности разорения страховой компании в период .

Для того, чтобы разыграть одну реализацию случайного процесса, используем алгоритм:

1. Полагаем

2. Генерируем случайное число из показательного распределения и случайное число из распределения

3.

4. Если , то Stop

5.

6. Если , то , Stop

7. Переход к шагу 2.

Здесь означает, что в данной реализации компания не разорилась (разорилась). Обращаясь к этой процедуре большое количество раз, мы можем оценить вероятность неразорения компании как частоту события .

Перейдем теперь к примерам распределений и процессов, использующихся в финансовой математике. Теория Х.Марковитца (Нобелевская премия по экономике 1990г.) рассматривает доходности ценных бумаг (например, акций) как случайные величины. Не вдаваясь здесь в содержание теории, скажем только, что доходность акции за какой-то период времени определяется как

,

где – цена акции в начале периода, а – в конце. Если имеется акций, то их доходности образуют случайный вектор-столбец и часто предполагают, что этот вектор имеет многомерное гауссовское распределение со средними значениями

и матрицей ковариаций

.

Обозначается это так:

~ ,

где – вектор-столбцы. Из теории гауссовского распределения известно, что многомерная плотность распределения вероятностей вектора имеет вид:

,

где – определитель матрицы – матрица обратная к .

Предположим, что для проведения статистических экспериментов с данным портфелем ценных бумаг нам необходимо моделировать вектор доходностей этих ценных бумаг. Ясно, что случайный вектор ~ и поэтому достаточно научиться моделировать вектор . Пусть случайные величины независимы и имеют стандартное гауссовское распределение . Линейные комбинации величин также имеют гауссовское распределение. Пусть – матрица размера . Тогда легко видеть, что

~ .

Так как мы умеем моделировать величины (смотрите предыдущий параграф), то задача сводится к тому, чтобы найти матрицу такую, что

. (7.8)

Матрица ковариаций симметрична и положительно-определена (т.е. для любого вектора ). Из линейной алгебры известно, что для таких матриц можно подобрать нижнюю треугольную матрицу , удовлетворяющую уравнению (7.8). Матричные элементы можно получить из рекуррентных соотношений

,

при .

В частности, для мы получим ответы

,

,

. (7.9)

Пусть теперь

,

. (7.10)

Тогда случайный вектор ~ .

Теория Марковитца исследует задачу оптимизации портфеля ценных бумаг в статическом режиме (временная эволюция портфеля не рассматривается). В современной финансовой математике зависимость стоимости ценных бумаг от времени находится в центре внимания. Для моделирования этой зависимости используется случайный процесс, который является непрерывной версией процесса случайного блуждания (смотрите главу 3).

Случайный процесс называется стандартным винеровским процессом (или броуновским движением), если

1.

2. Для любых случайные величины независимы

3. Для любых ~ .

Л.Башелье еще в 1900 году предложил использовать для описания курса акций модель

. (7.11)

Если приращение цены акции за время обозначить , то легко видеть, что

. (7.12)

Из (7.12) следует, что параметр характеризует норму возврата или коэффициент роста, а – скорость роста дисперсии (в экономической литературе стандартное отклонение называют волатильностью). Одним из недостатков модели Башелье является то, что цена может принимать отрицательные значения.

П.Самуэльсон (Нобелевская премия по экономике 1970г.) предложил использовать геометрическое броуновское движение:

. (7.13)

Не вдаваясь в тонкости стохастического анализа, скажем только, что выражение в (7.13) является решением стохастического дифференциального уравнения

. (7.14)

Уравнение (7.14) приближенно в разностях можно понимать как уравнение

, (7.15)

где – последовательность независимых стандартных гауссовских величин. Уравнение (7.15) на экономическом языке означает, что доходность ценной бумаги за время складывается из постоянного приращения и случайного колебания с дисперсией .

Для того, чтобы моделировать реализации случайного процесса (7.13), достаточно научиться моделировать реализации стандартного винеровского процесса . Для практических целей достаточно моделировать значения процесса в некотором дискретном множестве моментов времени . Из определения следует, что приращения независимы, ~ . Поэтому алгоритм очень прост:

1. Полагаем

2. Для от 1 до генерируем ~ и полагаем .

Рассмотрим пример, использующий модель геометрического броуновского движения для описания временной эволюции курса акции. Производная ценная бумага, называемая опционом колл, позволяет купить через время пакет акций по цене рублей за одну акцию. Человеку, обладающему опционом колл, выгодно исполнить его, если цена акции в момент времени превысит цену исполнения . В противном случае он не будет исполнять его. Опцион европейского типа разрешает использовать опцион только в момент времени , при этом доход владельца опциона (без учета цены, заплаченной за опцион) составит

.

Опцион американского типа разрешает использовать опцион в любой момент времени . При этом прибыль владельца опциона составит

.

Опцион азиатского типа даст доход

.

Возникают сложные математические вопросы о том, сколько должен стоить опцион того или иного типа или о том, какова должна быть стратегия выбора момента времени при исполнении опционов американского типа. Понятно, что статистическое моделирование курсов акций с помощью геометрического броуновского движения полезно при поиске ответов на все эти вопросы.