0. Принятие решений в условиях риска

При постановке задачи принятия решения в условиях неопределенности заранее известно множество всех возможных действий , множество состояний «природы» («среды») и функция выигрышей (потерь) . Если кроме этого имеется информация о вероятностях всех состояний природы , то говорят, что ставится задача принятия решений в условиях риска. Основной критерий, которым пользуются при решении таких задач, называется критерием среднего значения. В условиях риска функция потерь может рассматриваться как случайная величина, зависящая от параметра . Поэтому естественно вычислить среднее значение (или математическое ожидание) этой величины

.

Пусть для определенности является функцией выигрышей. Критерий среднего значения предлагает выбрать то решение, при котором достигается максимальный средний выигрыш:

.

Мотивировать разумность этого критерия можно, например, следующим образом. Предположим, что в течении дней мы принимаем одно и то же решение . Пусть обозначает случайную величину, задающую состояние среды в -ый день и пусть для простоты являются случайными независимыми величинами. Тогда выигрыш за дней будет записываться как

.

По закону больших чисел

.

Другими словами, средний (по времени) доход за дней с большой вероятностью практически равняется . Максимизируя функцию , мы тем самым максимизируем средний (по времени) доход за большой период времени.

Мы будем понимать задачи принятия решения в условиях риска несколько более широко – как задачи оптимизации или задачи сравнительного анализа систем, функционирование которых подвержено влиянию случайных факторов. В последующих главах будет рассмотрено много задач такого рода из теории управления запасами и теории массового обслуживания.

Рассмотрим пример, не требующий предварительной подготовки. Необходимо провести медицинское обследование большого количества людей. Опасный вирус может быть обнаружен в крови с помощью дорогостоящего анализа. Методика, предложенная Р.Дорфманом при обследовании призывников в армию США во время второй мировой войны, позволила сократить число анализов в 5 раз. Идея состоит в том, что смешиваются пробы крови человек и анализируется полученная смесь. Если антител нет, то вся группа является здоровой. Если антитела обнаруживаются, то необходимо провести еще анализов для того, чтобы найти зараженных.

Пусть количество обследуемых равно , а вероятность того, что человек болен, равна . Пусть делится нацело на , число групп обследуемых равно . Обозначим через число проверок в -ой группе. Величины являются независимыми и имеют распределение

(в группе нет больных)

(есть больные) (1.1)

Общее число проверок . Надо найти значение , минимизирующее среднее значение . Из (1.1) следует

,

.

Несмотря на то, что является дискретной переменной, разумным приближением к задаче минимизации является минимизация функции

.

Точное нахождение минимума функции затруднительно. Но заметим, что при малых справедливо приближение :

.

Минимум функции достигается при .

В случае, которым занимался Р.Дорфман, . При этом . Значит, при

.

Обобщением критерия среднего значения является критерий среднего значения – дисперсии. Пусть – функция выигрышей. Кроме среднего значения величина характеризуется еще и дисперсией

.

Можно предположить, что существует большое количество ЛПР, желающих максимизировать средний выигрыш , но не желающих, чтобы выигрыш сильно отклонялся от среднего значения (большие отклонения могут привести к разорению). Отклонения величины относительно среднего значения характеризуются дисперсией или стандартным отклонением. Критерий среднего значения – дисперсии предлагает максимизировать величину

или

.

Здесь коэффициент субъективен и характеризует склонность ЛПР к риску. Большие значения придают больший вес дисперсии, что означает несклонность ЛПР к риску.

Учитывать дисперсию можно и в такой постановке:

Максимизировать при ограничении

или

минимизировать при ограничении .

Известным примером задачи такого типа является задача Марковитца об оптимальном портфеле.

Имеется акций, доходности которых являются случайными величинами со средними значениями и матрицей ковариаций ,

.

Напомним, что доходность ценной бумаги за какой-то период определяется как

,

где – цена бумаги в начале периода, – в конце. Вы должны решить, какую долю своего капитала инвестировать в ту или иную бумагу. Пусть – доля капитала, инвестированная в -ую акцию. Тогда легко видеть, что доходность вашего портфеля

,

математическое ожидание доходности портфеля

,

дисперсия доходности портфеля

.

Один из вариантов задачи Марковитца выглядит так

,

,

,

здесь – желаемое значение математического ожидания доходности портфеля. В случае, когда , задача решается явно с помощью метода множителей Лагранжа. Если наложено дополнительное условие , она может быть решена численно с помощью методов квадратичного программирования.