2. Немарковские модели смо

Марковские модели образуют наиболее простую группу моделей СМО и являются плацдармом для дальнейшего продвижения в сложной мир реальных систем массового обслуживания. Легко представить себе системы, в которых входящий поток заявок является марковским, но время обслуживания не обязательно имеет показательное распределение. Рассмотрим систему вида , для которой входящий поток заявок является пуассоновским, а время обслуживания имеет распределение Эрланга . Как мы уже обсуждали в главе 3-ьей, распределения Эрланга образуют достаточно широкий класс распределений, включающий в себя показательное распределение . Также в некотором предельном режиме с помощью распределений Эрланга можно моделировать детерминированное распределение .

Оказывается, исследование системы можно свести к исследованию марковской системы. Напомним, что случайная величина имеет распределение Эрланга, ~ , если

,

где являются независимыми величинами с показательным распределением . Поэтому можно считать, что если заявка находится на обслуживании, то она проходит фактически фаз обслуживания, каждая из которых имеет показательное распределение с параметром . Состояние системы можно описать с помощью пары чисел , где обозначает число заявок в системе, а обозначает количество оставшихся фаз обслуживания для заявки, находящейся в канале обслуживания. Вместо пары в качестве состояния мы можем использовать полное число фаз обслуживания всех заявок в системе. Это число равно , поскольку в очереди находится заявка, каждой из которых предстоит пройти фаз обслуживания.

Тогда граф состояний для системы, находящейся в предельном стационарном режиме, имеет вид

0

1

r

r+1

Рис. 5.6

Можно показать, что предельный стационарный режим существует в том случае, когда интенсивность входящего потока меньше интенсивности канала обслуживания (заметим, что ). Пусть . Граф состояний (рис.5.6) не является графом процесса рождения и гибели, но уравнения для предельных вероятностей поддаются анализу:

, (5.55)

, (5.56)

. (5.57)

Рассмотрим производящую функцию для вероятностей :

.

Умножая соотношения (5.55) – (5.57) последовательно на и складывая их, получаем

.

Отсюда следует, что

.

Можно доказать, что уравнение

(5.58)

имеет различные корни и следовательно может быть представлено в виде разложения по простейшим дробям:

. (5.59)

Значит,

,

. (5.60)

Коэффициенты можно определить, подставляя разложения (5.60) в уравнения (5.55) -(5.56) и используя условие нормировки .

Пусть, например, . Тогда уравнение (5.58) принимает вид . Корни последнего уравнения ,

.

Подставляя и в уравнение (5.55), и используя условие , получаем

,

.

Отсюда ,

.

Зная вероятности всех состояний системы , мы можем найти все остальные характеристики. Пусть обозначает вероятность того, что в системе находится заявок. Ясно, что , а для

.

Так как каждая фаза работы в системе длится в среднем единиц времени, то среднее время пребывания заявки в системе равно

.

Таким образом, основной математической проблемой при анализе систем вида является проблема вычисления корней уравнения (5.58), проблема легко решается с помощью современных пакетов «Mathematica или «Matlab».

Приведем без доказательства еще несколько результатов о свойствах общих систем массового обслуживания. Во-первых, закон Литтла оказывается универсальным законом для очень широкого класса систем. Пусть обозначает среднее (по времени) количество заявок в системе. Под системой может пониматься вся СМО, состоящая из очереди и канала обслуживания или только очередь или только канал. Пусть обозначает интенсивность потока заявок, входящих в систему, обозначает среднее время пребывания заявки в системе. Тогда закон Литтла можно сформулировать следующим образом: .

Приведем точные математические определения. Пусть заявки прибывают в моменты времени при . Предположим, что -ая заявка находится в системе время . Обозначим через количество заявок, пришедших в систему в интервале .

Пусть обозначает количество заявок в системе в момент времени :

,

где – индикатор луча . Определим следующие величины ( при условии, что пределы существуют)

– интенсивность потока заявок,

– среднее время пребывания заявок в системе,

– среднее (по времени) число заявок в системе.

Можно доказать следующую теорему: если величины и существуют и конечны, то также существует и .

Другой известный результат относится к системе . Пусть поток заявок является пуассоновским с интенсивностью . Время обслуживания имеет какое-то распределение со средним значением и дисперсией . Пусть . Тогда средняя длина очереди равна

. (5.61)

Формула (5.61) называется формулой Поллачека-Хинчина.

Из закона Литтла следует, что среднее время ожидания заявки в очереди равно

.

Среднее количество заявок в системе и среднее время пребывания заявки в системе равны

.

Заканчивая эту главу, отметим, что все результаты носили дескриптивный характер – мы описывали характеристики различных систем массового обслуживания. Но в некоторых случаях, когда можно оценивать издержки, связанные с длиной очереди или временем ожидания, можно ставить и оптимизационные задачи. Например, в задаче о станках простой станков приводит к потере прибыли, но увеличение количества рабочих-ремонтников также приводит к дополнительным издержкам. Оценивая суммарные издержки, можно оптимизировать данную систему.

Задачи

1. Выведите характеристики системы .

2. Просчитайте характеристики системы при дисциплинах взаимопомощи «каждый сам за себя», «все как один» и «равномерной взаимопомощи» и сравните их между собой для произвольных значений и .

3. В цеху стоит 4 станка, каждый из которых ломается с интенсивностью поломок в час. Рабочий ремонтирует станок в среднем за 0,5 часа. Простой одного станка в час приводит к потерям в рублей, заработная плата рабочего в час равна рублей. При каком соотношении между и более выгодно иметь двух рабочих, чем одного? Предполагается, что система является марковской.

4. Пусть дана система . Поток заявок имеет интенсивность заявок/час. Среднее время обслуживания одной заявки равно час. Каждая обслуженная заявка приносит доход рублей. Затраты на содержание одного канала равны 300 рублей в час. Сравните доходы от эксплуатации системы при и найдите наиболее выгодное число каналов.

5. Касса имеет два окошка и продает билеты в два пункта: Москва и Санкт-Петербург. Интенсивности потоков пассажиров, выезжающих в Москву и Санкт-Петербург, равны и соответственно. Среднее время обслуживания одного пассажира равно . Рассматривается следующее предложение: в одной кассе продавать билеты только в Москву, а в другой – только в Санкт-Петербург. Сравните различные характеристики этих двух СМО и оцените эффективность этого предложения при различных значениях .

6. Рассмотрите систему . Пусть интенсивность потока заявок равна , среднее время обслуживания одной заявки равна 3. Определите среднее время ожидания заявки в очереди и среднюю длину очереди.