2. Задача о ремонте станков

Рассмотрим следующую марковскую систему. Пусть имеется станков, каждый из которых, проработав показательно распределенное случайное время с параметром , может сломаться. Таким образом, каждый станок порождает пуассоновский поток неисправностей с интенсивностью , причем все эти потоки независимы между собой. Имеется группа из рабочих, каждый из которых может отремонтировать один станок за случайное время с показательным распределением . Среднее время ремонта станка равно . Если станок сломается, а все рабочие заняты, то станок становится в очередь и ждет своего обслуживания.

Представим эту систему как процесс рождения и гибели и рассчитаем его характеристики. Граф состояний имеет вид

0

n

m

1

Рис. 5.5

Предполагается, что . Состояния системы задаются следующим образом:

0 – все станки работают, рабочие не заняты,

1 – один станок вышел из строя, один рабочий его ремонтирует,

2 – два станка вышли из строя, двое рабочий их ремонтируют,

. . . . . . . . .

– станков вышли из строя, все рабочие работают,

– станков вышли из строя, из них ремонтируются, один стоит в очереди,

. . . . . . . . .

– все станки вышли из строя, из них ремонтируются, остальные стоят в очереди.

В состоянии 0 все станки работают, и поскольку любой из них может остановиться, то плотность перехода из состояния 0 в состояние 1 равна . Плотность перехода из состояния в состояние равна , так как в состоянии работают станков и только они могут выйти из строя. Если система находится в состоянии , то плотность перехода из состояния в состояние равна , поскольку работают рабочих. Если же , то число занятых рабочих равно и плотность перехода стабилизируется на значении . Особенностью данной системы является то, что поток заявок в ней рождается внутри системы, а не падает извне. Кроме того, интенсивность потока зависит от состояния системы. Такие системы массового обслуживания называются замкнутыми.

Обозначим . Предельные вероятности состояний данной системы имеют вид:

(5.51)

,

.

Поскольку в этой системе любая заявка рано или поздно будет обслужена, то относительная пропускная способность .

Среднее число занятых рабочих может быть вычислено по формуле

. (5.52)

Определим абсолютную пропускную способность данной системы как среднее число станков, обслуживаемых системой в единицу времени. Т.к. интенсивность одного рабочего равна , то может быть вычислено как

. (5.53)

Обозначим число неисправных станков . Тогда

.

Это число может быть найдено проще из следующего соображения. Так как среднее число исправных станков равно , и каждый из них ломается с интенсивностью , то средняя интенсивность общего потока неисправностей равна . Поскольку все эти неисправности устраняются, то можно написать равенство

и, используя (5.53), получаем

. (5.54)