2. Процессы рождения и гибели. Одноканальная марковская смо с бесконечной очередью

Здесь и далее мы будем описывать марковские СМО в пределе . Для этого мы перейдем от дифференциальных уравнений Колмогорова к алгебраическим уравнениям для предельных вероятностей (см. раздел 3.3.).

Распределение вероятностей, задаваемое предельными вероятностями называют еще стационарным распределением (или распределением равновесия). Если вначале вероятности различных состояний зависят от начальных условий, то при увеличении времени эта зависимость уменьшается и в пределе исчезает. Поэтому говорят, что при больших временах в марковской системе устанавливается предельный стационарный режим.

Существует важный класс марковских цепей, для которых легко определить существование стационарного режима и вычислить соответствующие предельные вероятности.

Пусть . Предположим, что из состояния мы можем перейти непосредственно только в соседние состояния и , а если , то переход возможен только в состояние . Плотность перехода из состояния в мы обозначим , а из состояния в - .

Нарисуем граф состояний такой марковской цепи, а рядом со стрелками переходов поставим плотности соответствующих переходов:

0

1

i

рис. 5.1

Такие марковские цепи называются процессами «рождения и гибели». Название пришло из приложений марковских цепей в задачах биологии, в которых под состоянием понимается количество особей в популяции, переход от к происходит в результате рождения еще одной особи, а обратный переход – в результате гибели.

Предположим, что множество состояний конечно. Тогда из любого состояния можно перейти в любое, и согласно эргодической теореме для марковских цепей с непрерывным временем (см. раздел 3.3.), существуют предельные вероятности . Мы ,конечно, предполагаем, что плотности всех переходов отличны от 0 (в противном случае мы не должны были рисовать стрелки).

Напишем систему уравнений для предельных вероятностей:

, (5.3)

.

Докажем по индукции, что эту систему уравнений можно переписать как

. (5.4)

Действительно, 0-е уравнение в (5.4) совпадает с 0-ым уравнением в (5.3). Пусть -е уравнение в (5.3) совпадает с -ым уравнением в (5.4). Рассмотрим -е уравнение в (5.3):

. (5.5)

В силу предположения индукции и уравнение (5.5) приводится к виду

,

что совпадает с -м уравнением в (5.4). Система уравнений (5.4) имеет очевидное решение

. (5.6)

Из условия нормировки

(5.7)

мы находим

, (5.8)

где - номер последнего состояния.

В случае бесконечного числа состояний решение системы уравнений формально можно выписать таким же способом, но тем не менее предельные вероятности могут не существовать. В самом деле, ответ для имеет вид:

. (5.9)

Поэтому для решения системы (5.4) по крайней мере необходимо потребовать, чтобы ряд в формуле (5.9) сходился:

. (5.10)

Математики доказали, что предельные вероятности для бесконечного процесса рождения и гибели будут существовать в том и только в том случае, когда будут выполнены условие (5.10) и условие

. (5.11)

Например, если начиная с некоторого номера для всех

, (5.12)

то условия (5.10) и (5.11) будут выполнены.

Рассмотрим следующий поучительный пример марковской СМО . Имеется один канал обслуживания. Заявки обслуживаются в порядке поступления и длина очереди ограничена . Граф состояний выглядит следующим образом:

0

1

2

m+1

рис. 5.2

где состояние задается количеством заявок в системе (в канале и в очереди). Вероятность перехода из состояния в состояние за малое время задается вероятностью прихода заявки

, .

Плотность перехода из состояния в состояние задается интенсивностью входящего пуассоновского потока заявок. Переход из состояния в состояние происходит при освобождении работающего канала. Пусть канал обслуживает заявку случайное время  . Тогда

.

Поскольку , то в среднем на обслуживание одной заявки уходит единиц времени, и поэтому среднее количество заявок, которое может обслужить канал за единицу времени, равно . Поэтому еще называют интенсивностью работы канала. Если очередная заявка приходит в систему в тот момент, когда очередь достигла длины , то она получает отказ в обслуживании и не входит в систему.

Мы имеем пример процесса рождения и гибели. Из уравнений (5.6) и (5.8) следует, что

(5.13)

(5.14)

где . Величина имеет смысл среднего числа заявок, приходящих в систему за среднее время обслуживания одной заявки. Эту величину называют «приведенной интенсивностью» потока заявок.

Легко видеть, что

, (5.15)

если и при . В дальнейшем мы всегда предполагаем, что система вышла на стационарный режим и вероятности состояний системы задаются своими предельными значениями.

Дадим определение основных показателей, характеризующих работу СМО.

Пусть - число заявок в системе, - число заявок в очереди, - время пребывания заявки в системе, - время пребывания заявки в очереди. Все эти величины являются случайными и поэтому естественно характеризовать систему средними значениями и .

Абсолютной пропускной способностью системы называется среднее количество заявок, которое может обслужить система за единицу времени.

Относительной пропускной способностью системы называется отношение среднего числа заявок, обслуживаемых системой в единицу времени, к среднему числу поступающих за это время заявок. Относительная пропускная способность равна вероятности того, что заявка получает обслуживание. Вероятность отказа в обслуживании .

Понятно, что если среднее число заявок, приходящих в систему за единицу времени, (интенсивность потока заявок) равна , то

. (5.16)

Рассчитаем теперь все эти характеристики для системы . Заявка получает отказ только в случае, когда система находится в состоянии :

.

Относительная пропускная способность

. (5.17)

Абсолютная пропускная способность определяется соотношением (5.16). Средняя длина очереди

. (5.18)

Заметим, что последняя сумма в (5.18)

. (5.19)

Отсюда получаем, что

. (5.20)

Аналогично можно вычислить среднее количество заявок в системе . Но проще ответить на этот вопрос, используя соотношение

,

где случайная величина принимает значение 1 или 0 в зависимости от того, есть или нет в канале обслуживания заявка. Понятно, что

.

Отсюда

. (5.21)

Вычислим среднее время пребывания заявки в очереди. Если заявка приходит в систему в тот момент, когда та находится в состоянии , то это значит, что перед заявкой в очереди будет стоять заявок и еще одна заявка находится в канале. Среднее время обслуживания одной заявки равно . Остаточное время обслуживания заявки, находящейся в канале, имеет показательное распределение и поэтому среднее значение этого времени также равно . Если же заявка приходит в систему, находящуюся в состоянии 0 или , то заявка либо сразу встает в канал обслуживания, либо уйдет необслуженной. Следовательно,

. (5.22)

Из формул (5.18) и (5.22) следует соотношение

, (5.23)

которое является первым примером проявления универсального закона Литтла. Об этом законе мы поговорим позже.

Время пребывания заявки в системе

, (5.24)

где - случайная величина, равная времени обслуживания в случае, когда заявка обслуживается, и нулю, когда она получает отказ. Легко видеть, что

. (5.25)

Отсюда

. (5.26)

Легко проверить, что и поэтому мы получаем соотношение, аналогичное (5.23):

. (5.27)

Рассмотрим теперь, что произойдет с системой, если число мест в очереди станет неограниченным. Пусть приведенная интенсивность

. (5.28)

Поскольку число состояний в системе бесконечно, то для существования предельных вероятностей достаточно проверить условие (5.12). Это условие выполнено в силу (5.28).

Характеристики СМО можно получить прямым вычислением, повторяя те же рассуждения, что мы проводили только что. Но можно получить эти характеристики из характеристик системы предельным переходом . Приведем ответы:

. (5.29)

Очевидно, что в случае бесконечной очереди отказов в обслуживании не будет и . Далее

, (5.30)

, (5.31)

, (5.32)

. (5.33)

Из этих формул видно, что все эти характеристики стремятся к бесконечности, когда стремится к 1. Например, средняя длина очереди стремится к бесконечности. Этот результат кажется удивительным. Иногда, при исследовании моделей случайных явлений разумно рассматривать детерминированный вариант модели, в которой все случайные величины заменяются на их средние значения. Если в нашем случае мы последуем этому принципу, то получим СМО, в котором поток заявок является детерминированным, а время обслуживания – постоянным. Даже если и , то очевидно, что в детерминированном варианте мы не будем иметь очереди. В марковском же случае средняя длина очереди будет бесконечной. Этот пример показывает, что интуиция может обманывать нас при исследовании случайных явлений.