5. Системы массового обслуживания

1. Марковские системы массового обслуживания

Простое представление о системе массового обслуживания (СМО) подразумевает некоторую систему пунктов (или механизмов) обслуживания, на которую падает поток заявок, рождающийся вне или внутри системы. В общем случае поток заявок является случайным, времена обслуживания также случайные. Заявки могут обладать приоритетами, а дисциплина обслуживания также может варьироваться. Производство и сфера обслуживания, телекоммуникации, компьютерные и транспортные сети порождают необозримое количество реальных примеров СМО. Например, такое замечательное и сложное достижение, как World Wide Web (WWW), стало предметом изучения самых разных дисциплин – от исследования операций до статистической физики.

В этом разделе мы рассмотрим простейшие (марковские) модели СМО, ограничиваясь математическим аппаратом теории марковских цепей. Оказывается, что даже в рамках марковских моделей можно получать содержательные и даже неожиданные результаты.

Прежде чем привести первые примеры, рассмотрим некоторые свойства показательного распределения.

Пусть случайная величина имеет показательное распределение с параметром , ~ . Как мы уже знаем, и обладает свойством отсутствия последействия:

.

Предложение 5.1. Пусть независимые случайные величины и имеют показательное распределение:   . Тогда случайная величина также имеет показательное распределение с параметром  . Кроме того,

. (5.1)

Доказательство. Действительно,

,

откуда и следует, что ~ . Далее,

.

Из предложения 5.1. по индукции следует, что если независимые случайные величины имеют показательное распределение,  , то

 . (5.2)

Если - марковская цепь с непрерывным временем, то каждое состояние этой цепи характеризуется плотностью выхода из состояния . Это означает, что система пребывает в состоянии случайное время, имеющее показательное распределение с параметром , после чего она переходит в другое состояние. Пусть обозначает момент времени, в который происходит -ое по счету изменение состояние. Определим марковскую цепь с дискретным временем как , т.е. в момент времени переходит в то состояние, в которое переходит марковская цепь с непрерывным временем в момент времени . Марковская цепь (время обозначено как нижний индекс) называется вложенной цепью Маркова. Обозначим переходную матрицу этой дискретной цепи . Понятно, что переходная матрица с набором плотностей выхода из состояний однозначно определяет марковскую цепь .

Рассмотрим следующий пример марковской СМО. Пусть у нас имеется один пункт (канал) обслуживания, на который падает пуассоновский поток интенсивности . Канал обслуживает каждую заявку случайное время, распределенное по показательному закону с параметром и независимое от потока заявок. Если канал занят, то заявка становится в очередь, и обслуживается в порядке очередности. Введем марковскую цепь , для которой состояние задается количеством заявок в системе (т.е. в очереди и в канале). Изменение состояния происходит в момент прихода или ухода заявки. Если , то первое изменение состояния произойдет в момент прихода первой заявки, т.е. через время  . Если , то система будет пребывать в состоянии время , где обозначает оставшееся время обслуживания заявки в канале, а обозначает время до прихода следующей заявки. Так как время обслуживания обладает свойством отсутствия последействия, то оставшееся время обслуживания также имеет показательное распределение с параметром . Поскольку  , то в силу предложения 5.1.  . Ясно, что введенная цепь обладает марковским свойством. Осталось выяснить, куда и с какой вероятностью будет переходить марковская цепь. Пусть - вложенная цепь Маркова в данном примере. Если , то переход возможен только в состояние 1 ( после прихода очередной заявки). Поэтому . Если , то в случае, если и , если . Значит,

в силу (5.1). Аналогично

.

Все остальные переходы имеют нулевую вероятность. Значит, вложенная марковская цепь в нашем примере представляет собой случайное блуждание на множестве неотрицательных целых чисел. Данный пример СМО кодируется как , где буквы обозначают марковский характер пуассоновского потока и показательного времени обслуживания, 1 – один канал обслуживания, - бесконечное число мест в очереди. Дисциплина обслуживания – FIFO (первым пришел – первым вышел).

Рассмотрим пример СМО, который можно обозначить . Он отличается от предыдущего примера тем, что в системе имеется каналов обслуживания. Приходящие заявки идут в первый свободный канал обслуживания. Если таковых нет, они становятся в очередь. Пусть как и раньше обозначает количество заявок в системе в момент времени . Понятно, что плотность выхода из состояния 0 равна . Пусть . Время пребывания в состоянии равно

,

где обозначает остаточное время обслуживания -го работающего канала, - время до прихода очередной заявки. Рассуждая также, как и в предыдущем примере, получаем, что  и . Если же , то поскольку число работающих каналов достигло максимума, .

Дадим теперь точное решение одноканальной марковской системы с отказами . То, что в очереди 0 мест, означает, что если приходящая заявка обнаруживает канал занятым, то она получает отказ. Применим к этой системе уравнения Колмогорова. Если система находится в состоянии 0, то переход происходит в состоянии 1 (канал занят) через время  . Поэтому

.

Если же система находится в состоянии 1, то переход в состояние 0 произойдет через остаточное время работы канала  :

.

Так как , то достаточно выписать уравнения Колмогорова для вероятностей и :

,

.

Учитывая начальные условия получаем

,

.

Предположим, что в нулевой момент времени мы находились в состоянии 0 с вероятностью , а в состоянии 1 – с вероятностью . Тогда

.

Аналогично

.

Из этих формул видно, что функции и при экспоненциально быстро стремятся к константам, не зависящим от начальных условий :

,

.

Именно такое поведение вероятностей предсказывалось теоремой о предельных вероятностях (см. раздел 3.1.). Как мы уже отмечали, предельные вероятности показывают, какую долю времени проводит система в состояниях 0 и 1 по прошествии достаточно большого времени.