Пуассоновский процесс
Простейший поток
В этой главе мы рассмотрим простую и естественную математическую модель потока случайных событий или требований. Такая задача возникает при описании работы системы массового обслуживания или, например, страховой компании. Примерами случайных потоков событий (требований) являются потоки сообщений в телефонных или компьютерных сетей, транспортные потоки, потоки страховых случаев и т.п.
Эта модель возникает при очень естественных предпосылках, и поэтому ее иногда называют моделью «простейшего потока событий».
Пусть
- случайные моменты наступления событий
в порядке их появления:
. Назовем последовательность этих
величин случайным потоком и будем
называть его простейшим, если выполнены
следующие условия:
1) Стационарность: вероятность появления заданного числа событий на интервале длины зависит от длины и не зависит от положения интервала на временной оси.
2) Отсутствие последействия : число событий, появляющихся на непересекающихся интервалах времени являются независимыми случайными величинами.
3) Ординарность: вероятность появления более одного события на малом интервале является величиной более высокого порядка малости, чем .
В частности, из условия стационарности следует, что интенсивность (или плотность) потока является постоянной величиной. Под интенсивностью потока понимается среднее число событий в единицу времени. Если вероятностные характеристики потока зависят от того, где расположен временной интервал моделирования, то такой поток называется нестационарным.
Отсутствие последействия означает, что события появляются независимо друг от друга. Ординарность потока означает, что события (или требования) приходят по одиночке. Заметим, что легко придумать примеры реальных потоков, когда эти условия нарушаются.
Замечательный факт состоит в том, что из свойств 1)-3), задающих простейший поток, можно вывести его вероятностные характеристики.
Предположим, что вероятность того, что в течение малого интервала времени произойдет одно событие
.
(4.1)
Разобьем временной
интервал
на
малых интервалов длины
.
Так как интервалы не пересекаются, то
события, связанные с различными
интервалами, не зависят друг от друга
в силу отсутствия последействия.
Вероятность того, что на каком-то
интервале не произойдет событие, равна
.
(4.2)
Вероятность же того, что на каком-то интервале произойдет более одного события, равна
(4.3)
(в силу свойства ординарности).
Пусть
- случайная величина, задающая количество
событий, происшедших на интервале
.
В соответствии с биномиальным законом
распределения из условий (4.1) – (4.3)
следует, что мы можем оценить вероятность
того, что за время
поступит
требований, равна
.
Устремляя
к нулю, мы получаем
.
Таким образом, мы
получили, что величина
имеет пуассоновское распределение с
параметром
.
Поэтому другое название простейшего
потока – пуассоновский поток ( или
пуассоновский случайный процесс).
Значит,
,
(4.4)
и параметр имеет простой физический смысл: есть интенсивность (или плотность) потока.