Полная вероятность. Бернулли

Семинар 3

Формула полной вероятности. Повторение независимых испытаний: формула Бернулли

Задача 1.

На складе имеются приборы, изготовленные тремя заводами: 20% приборов на складе изготовлено заводом А, 50% - заводом В и 30% - заводом С. Вероятности того, что в течении гарантийного срока прибору потребуется ремонт, для продукции каждого из заводов равны соответственно 0,2; 0,1; 0,3. Взятый со склада прибор не имел заводской маркировки и потребовал ремонта в течение гарантийного срока. Каким заводом вероятнее всего был изготовлен прибор? Какова эта вероятность?

Задача 2.

Среди пациентов клиники 3% страдают некоторым заболеванием. Анализ крови позволяет обнаружить это заболевание у 97% тех пациентов, которые им страдают. В то же время этот же анализ в 4% случаев дает положительную реакцию для тех, у кого данного заболевания нет. У случайно выбранного пациента оказалась положительная реакция. Найдите приближенное значение вероятности того, что он действительно страдает данным заболеванием.

Задача 3.

Исследованиями психологов установлено, что мужчины и женщины по-разному реагируют на некоторые жизненные обстоятельства. Результаты обследований показали, что 70% женщин позитивно реагируют на эти ситуации, в то время как 40% мужчин реагируют на них негативно. 15 женщин и 5 мужчин заполнили анкеты, в которых отразили свою реакцию на предлагаемые ситуации. Случайно извлеченная анкета содержит негативную реакцию. Какова вероятность того, что эта анкета была заполнена мужчиной? (ответ 0,308)

Задача 4.

В ящике лежат 20 теннисных мячей, из которых 15 новых и 5 играных. Для игры наудачу выбирают 2 мяча, которые после игры возвращают обратно в ящик. Затем для второй игры также наудачу берут еще 2 мяча. Какова вероятность того, что вторая игра будет проводиться новыми мячами? (ответ 0,445)

Задача 5.

В прокате имеется 10 телевизоров, для которых вероятность безотказной работы в течение некоторого срока 0,9 и 5 телевизоров с аналогичной вероятностью 0,95. Найти вероятность того, что два случайно взятых телевизора будут работать исправно в течение указанного срока. (ответ

0,8402)

Задача 6.

У директора фирмы имеется два списка с претендентами на работу. В первом списке фамилии 5 женщин и 2 мужчин. Во втором – фамилии 2 женщин и 6 мужчин. Фамилия одного из претендентов случайно переносится из первого списка во второй, затем фамилия претендента случайным образом выбирается из второго списка. Если предположить, что эта фамилия принадлежит мужчине, чему равна вероятность того, что из первого списка была извлечена фамилия женщины? (ответ 0,682)

Задача 7.

В одной урне 5 белых и 6 черных шаров, а в другой — 4 белых и 8 черных шаров. Из первой урны случайным образом вынимают 3 шара и опускают во вторую урну. После этого из второй урны также случайно вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что все шары, вынутые из второй урны, белые. (ответ 0,0073)

Задача 8.

Монету бросают до тех пор, пока герб не выпадет дважды подряд. Найти вероятность того, что монету придется бросать нечетное число раз. (ответ 2/5)

Задача 9.

60% студентов крупного университета говорят по-немецки. Пусть Х – число студентов, говорящих по-немецки, среди случайно выбранных 7 студентов. Укажите наиболее вероятное значение Х.

Задача 10.

Игральная кость подбрасывается до тех пор, пока не выпадет шестерка. Какова вероятность того, что потребуется не менее трех бросаний?

Задача 11.

В среднем по 15% договоров страховая компания выплачивает страховую сумму. Найти вероятность того, что из десяти договоров с наступлением страхового случая будет связано с выплатой страховой суммы: а) три договора; б) менее двух договоров.

Задача 12.

Производится залп из шести орудий по некоторому объекту. Вероятность попадания в объект из каждого орудия равна 0,6. Найти вероятность ликвидации объекта, если для этого необходимо не менее четырех попаданий.

Задача 13.

Ответ: 0,2966

Задача 14.

Два баскетболиста делают по 3 броска мячом в корзину. Вероятности попадания мяча в корзину при каждом броске равны соответственно 0,6 и 0,7. Найти вероятность того, что: а) у обоих будет одинаковое количество попаданий; б) у первого баскетболиста будет больше попаданий, чем у второго. (ответ: а) 0,321; б) 0,264)

Задача 15.

В четырех опытах, проводимых по схеме Бернулли, вероятность хотя бы одного успеха равна 0,5904. Что более вероятно в этих четырех опытах: достижение ровно двух или ровно трех успехов? (ответ: ровно двух)

Задача 16.

При каждом выстреле независимо от остальных выстрелов стрелок попадает в мишень с вероятностью р. Какова вероятность того, что в результате 6 выстрелов произойдет не менее 2

попаданий и хотя бы 1 промах? (ответ: 1 q6 6 pq5 p6 )

Задача 17.

В круг вписан квадрат. Чему равна вероятность того, что из четырех точек, брошенных наугад в данный круг, только одна попадет внутрь квадрата? Каково наиболее вероятное число точек, попавших в квадрат? (ответ: 1) 0,122; 2) 3)

Задача 18.

При каждом выстреле независимо от остальных выстрелов стрелок попадает в цель с вероятностью 0,75. Для поражения цели в нее нужно попасть хотя бы два раза. В результате 5 выстрелов цель была поражена. С какой вероятностью удачными оказались не менее четырех выстрелов? (ответ: 9/14)

Задача 19.

Нефтяная компания собирается строить нефтяные вышки на четырех участках, обозначенных, соответственно, 1, 2, 3 и 4. Вероятность найти нефть на любом из них (независимо от обнаружения нефти на других участках) считается одинаковой и равной р . Рассматриваются четыре события:

Задача 20.

Вы играете с равносильным противником в игру, в которой нет ничьих. Сравните вероятности следующих событий А и В: а) А – выигрыш 3 партий из 4, В – выигрыш 5 партий из 8; б) А – выигрыш не менее 3 партий из 4, В – выигрыш не менее 5 партий из 8.

Задача 21.

В некоторой местности одинаковое количество мужчин и женщин, причем известно, что среди них страдают дальтонизмом 5% мужчин и 0,25% женщин. Наугад обследованный житель оказался дальтоником. Какова вероятность того, что это мужчина? (ответ: 20/21)

Задача 22.

Вероятности попадания в цель для трех стрелков равны соответственно 4/5, 3/4 и 2/3. Для поражения цели в нее нужно попасть не менее двух раз. В результате одновременного выстрела трех стрелков цель была поражена. Какова вероятность того, что третий стрелок попал в цель? (ответ 0,76)