Задание 3. Интерполяция функций
Выполнить линейную и квадратичную интерполяцию функции у = /(х), для чего:
-выбрать вид интерполяционного многочлена (Лагранжа или Ньютона);
для многочлена Ньютона выбрать значение х0, для многочлена
Лагранжа указать последовательность значений из предписанного множества узлов (таблица 13);
составить программу решения задачи интерполяции: -вычислить значение интерполирующих многочленов в точке х-а для многочлена Ньютона и в точке х - b для многочлена Лагранжа.
Построить интерполяционный многочлен второй степени в явном виде, вычислить значения построенного многочлена в узлах интерполяции,
записать результаты в виде таблицы;
оценить погрешности интерполяции по формулам практической оценки погрешности. Результаты записать в таблицу 9
Построить график зависимости погрешности от числа узлов.
0.0 |
1.623250 |
0.1 |
1.664792 |
0.2 |
1.701997 |
0.3 |
1.734832 |
0.4 |
1.763404 |
0.5 |
1.787764 |
0.6 |
1.808002 |
0.7 |
1.824230 |
0.8 |
1.845201 |
0.9 |
1.845201 |
а=0,153; b=0,862
Шаг таблицы постоянный, поэтому можно построить интерполяционный многочлен Ньютона
,
Ближайший
к точке
узел слева
,
поэтому полагаем
х0 = 0,1.
Для линейной интерполяции следует взять узлы
х0 =0,1, X1 =0,2.
Для квадратичной интерполяции последовательность узлов
х0 =0,1; х1 =0,2; х2 =0,3
(число узлов равно n + 1, где n- порядок интерполирующего многочлена). Погрешность можно оценить по формуле^
x |
y |
dy |
d2y |
d3y |
d4y |
x |
y |
dy |
d2y |
d3y |
d4y |
0,1 |
1,664792 |
0,037205 |
-0,00437 |
0,000107 |
-0,000056 |
0,2 |
1,701997 |
0,032835 |
-0,00426 |
0,000051 |
|
0,3 |
1,734832 |
0,028572 |
-0,00421 |
|
|
0,4 |
1,763404 |
0,02436 |
|
|
|
Построим
:
,
.
При
,
.
,
.
Построим
:
,
.
При ,
.
,
.
Оценим погрешности:
Анализируя
погрешности, можно сделать вывод, что
интерполируемая функция близка к
квадратичной, так как конечные разности
третьего порядка значительно различаются,
и погрешность
.
Для данной таблицы в точке и можно построить многочлен Лагранжа.
.
Оценка погрешности:
Перенумеруем узлы:
Ближайший
к точке b=0,862,
,
,
.
Многочлен Лагранжа при
:
При x=b=0,862,
.
Погрешность
приближения
.
Задание 4. Алгоритмы численного интегрирования функций
Составить программу интегрирования и вычислить указанными методами интеграл
с
точностью
;
Решение
Корни уравнения:
,
T=1, р=3, h0=0,5,
Так
как
,
то метод средних прямоугольников.
Вычислим интеграл методом средних прямоугольников,
где
R |
n |
h |
I |
|
4 |
0,5 |
6,57599 |
0,018 |
8 |
0,25 |
6,52179 |
0,004 |
16 |
0,125 |
6,50816 |
0,001 |
32 |
0,0625 |
6,50475 |
При
h=0,5,
n1=4
n1=4 |
h= |
0,5 |
n1 |
xi |
F |
0 |
0,75 |
0,735 |
1 |
1,25 |
1,888 |
2 |
1,75 |
3,192 |
3 |
2,25 |
4,142 |
4 |
2,75 |
3,929 |
|
I1= |
6,57599 |
При
h=0,25,
n2 =8
n2=8 |
h= |
0,25 |
n1 |
xi |
F |
0 |
0,875 |
0,993 |
1 |
1,125 |
1,573 |
2 |
1,375 |
2,214 |
3 |
1,625 |
2,874 |
4 |
1,875 |
3,490 |
5 |
2,125 |
3,978 |
6 |
2,375 |
4,236 |
7 |
2,625 |
4,145 |
8 |
2,875 |
3,578 |
|
I2= |
6,52179 |
Оценим погрешность вычислений по правилу Рунге:
.
Для метода средних прямоугольников:
R=0,018
При
h=0,125,
n3 =16
n3=16 |
h= |
0,125 |
n3 |
xi |
F |
0 |
1,0625 |
1,421 |
1 |
1,1875 |
1,729 |
2 |
1,3125 |
2,050 |
3 |
1,4375 |
2,380 |
4 |
1,5625 |
2,711 |
5 |
1,6875 |
3,035 |
6 |
1,8125 |
3,344 |
7 |
1,9375 |
3,627 |
8 |
2,0625 |
3,873 |
9 |
2,1875 |
4,068 |
10 |
2,3125 |
4,199 |
11 |
2,4375 |
4,250 |
12 |
2,5625 |
4,207 |
13 |
2,6875 |
4,053 |
14 |
2,8125 |
3,771 |
15 |
2,9375 |
3,346 |
16 |
3,0625 |
2,762 |
|
I3= |
6,67582 |
Оценим погрешность вычислений по правилу Рунге:
.
Для метода средних прямоугольников:
R=0,004
При
h=0,0625,
n4 =32
n4=32 |
h= |
0,0625 |
n4 |
xi |
F |
0 |
0,96875 |
1,201 |
1 |
1,03125 |
1,346 |
2 |
1,09375 |
1,496 |
3 |
1,15625 |
1,650 |
4 |
1,21875 |
1,808 |
5 |
1,28125 |
1,969 |
6 |
1,34375 |
2,132 |
7 |
1,40625 |
2,297 |
8 |
1,46875 |
2,463 |
9 |
1,53125 |
2,628 |
10 |
1,59375 |
2,793 |
11 |
1,65625 |
2,955 |
12 |
1,71875 |
3,114 |
13 |
1,78125 |
3,269 |
14 |
1,84375 |
3,418 |
15 |
1,90625 |
3,560 |
16 |
1,96875 |
3,693 |
17 |
2,03125 |
3,816 |
18 |
2,09375 |
3,927 |
19 |
2,15625 |
4,025 |
20 |
2,21875 |
4,107 |
21 |
2,28125 |
4,173 |
22 |
2,34375 |
4,220 |
23 |
2,40625 |
4,246 |
24 |
2,46875 |
4,249 |
25 |
2,53125 |
4,228 |
26 |
2,59375 |
4,180 |
27 |
2,65625 |
4,103 |
28 |
2,71875 |
3,995 |
29 |
2,78125 |
3,855 |
30 |
2,84375 |
3,679 |
31 |
2,90625 |
3,467 |
32 |
2,96875 |
3,216 |
|
I4= |
6,50475 |
Оценим погрешность вычислений по правилу Рунге:
.
Для метода средних прямоугольников:
R=0,001
Построим график зависимости погрешности вычислений от количества интервалов разбиения:
