3. Метод хорд.

На отрезке найдем корень методом хорд.

Рекуррентные формулы имеют вид:

В случае, если неподвижна точка а:

, n=0, 1 …

Неподвижен тот конец отрезка , для которого знак функции совпадает со знаком ее второй производной.

Для сходимости метода необходимо знакопостоянство на отрезке .

Оценка погрешности:

,

- модуль наименьшего значения соответственно .

Неподвижным концом является а=1, так как в нем значение функции положительно и совпадает со знаком ее второй производной

Составим таблицу:

Таблица 5

n	x	F(x)	f(x)
0	2	-0,832293673	0,435
1	1,56490	-0,234003588	0,101
2	1,46435	-0,036238169	0,015
3	1,44928	-0,004999208	0,002
4	1,44721	-0,000678199	0,000
5	1,44693	-9,17949E-05	0,000

- уточненный корень на отрезке .

Погрешность равна 0,00058

Решение на языке Паскаль (hord.pas):

Результат:

Задание 2. Метод наименьших квадратов

Для заданной функции y(x) методом наименьших квадратов получить линейную F₁(x) = a₀ + а₁х и квадратичную F₂(x) = a₀ + а₁х + а₂х² апроксимиющие функции:

- составить и решить систему нормальных уравнений; определить параметры аппроксимирующих функций; вычислить значения аппроксимирующих функций в узлах аппроксимации;

- построить график заданной функции и графики функций линейной и квадратичной аппроксимации; оценить качество аппроксимации.

Решение

Составим таблицу значений функции в соответствии с вариантом и параметром :

Таблица 6

i	0	1	2	3	4	сумма	среднее
хi	2	4	6	9	11	32	6,4
yi	2	5	7	5	1	20	4,0
xi*yi	4	20	42	45	11	122	24,4
xi^2	4	16	36	81	121	258	51,6

Составим линейную функцию:

, ,

,

Тогда линейная зависимость имеет вид:

.

Составим квадратичную функцию:

Составим и решим систему нормальных уравнений для определения коэффициентов квадратичной функции:

,

Составим таблицу элементов матрицы Грамма и столбца свободных коэффициентов:

Таблица 7

i	0	1	2	3	4	сумма	среднее
хi	2	4	6	9	11	32	6,400
yi	2	5	7	5	1	20	4,000
x^2	4	16	36	81	121	258	51,600
x^3	8	64	216	729	1331	2348	469,600
x^4	16	256	1296	6561	14641	22770	4554,000
x*y	4	20	42	45	11	122	24,400
x^2*y	8	80	252	405	121	866	173,200

Получим систему нормальных уравнений:

Решим систему матричным методом:

, где

	5	32	258
А=	32	258	2348
	258	2348	22770

Столбец свободных коэффициентов:

	20
В=	122
	866

Обратная матрица:

	4,110	-1,397	0,097
А-1=	-1,397	0,538	-0,040
	0,097	-0,040	0,003

Решение системы нормальных уравнений имеет вид:

X=	-3,797
	3,349
	-0,264

Тогда квадратичная аппроксимация имеет вид:

F₂(x) = -0,264x² +3,349x -3,797

Вычислим значения аппроксимирующих функций в узлах аппроксимации:

Таблица 8

i	0	1	2	3	4	сумма	среднее
хi	2	4	6	9	11	32	6,400
yi	2	5	7	5	1	20	4,000
F1	4,4958	4,2698	4,0438	3,7048	3,4788	19,993	3,999
F2	1,8468	5,3776	6,7964	4,9646	1,1034	20,0888	4,018

Графики функций линейной и квадратичной функции:

Оценим качество аппроксимации по формуле:

.

Составим вычислительную таблицу:

Таблица 9

i	0	1	2	3	4	сумма	среднее
(F1-y)2	6,229	0,533	8,739	1,678	6,144	23,323	4,665
(F2-y)2	0,023	0,143	0,041	0,001	0,011	0,219	0,044

Оценим погрешность обеих аппроксимаций:

,

.

Значит, более точной является квадратичная аппроксимация.