4.4. Визначення максимуму поверхні

Максимум і мінімум функції декількох змінних

Визначення 1. Ми говоримо, що функція має максимум в точці (т.е. при и ), якщо

для усіх точок , досить близьких до точки і відрізняються від неї.

Визначення 2. Вчинено аналогічно говорять, що функція має мінімум в точці , якщо

для усіх точок , досить близьких до точки і відрізняються від неї.

Максимум і мінімум функції називаються екстремумами функції, тобто кажуть, що функція має екстремум в даній точці, якщо функція має максимум чи мінімум в даній точці.

Дане вище визначення максимуму і мінімуму можна перефразувати в такий спосіб.

Покладемо ; ;

тоді

1) якщо при всіх досить малих прирости незалежних змінних, то функція досягає максимуму в точці .

2) якщо при всіх досить малих прирости незалежних змінних, то функція досягає мінімуму в точці .

Ці формули переносяться без зміни на функції будь-якого числа змінних.

Теорема 1. (Необхідні умови екстремуму).

Якщо функція досягає екстремуму при , , то кожна приватна похідна першого порядку від або звертається в нуль при цих значеннях аргументів, або не існує.

Ця теорема не є достатньою для дослідження питання про екстремальні значеннях функції, але дозволяє знаходити ці значення в тих випадках, в яких ми заздалегідь впевнені в існуванні максимуму або мінімуму.

Точки, в яких (або не існують) и ( або не існують), називаються критичними точками функції . Якщо функція досягає екстремуму в будь-якій точці, то (в силу теореми 1) це може статися тільки в критичній точці.

Для дослідження функції в критичних точках встановимо достатні умови екстремуму функції двох змінних:

Теорема 2. Нехай в деякій області, яка містить точку , функція має безперервні приватні похідні до третього порядку включно, і нехай, крім того, точка є критичною точкою функції , т.е.

, .