Розділ 4 планування експерименту та оптимізація геометричних параметрів елемента, що моделюється

4.1. Оптимізація геометричних параметрів

Оптимізація геометричних параметрів виконана за допомогою планування експерименту.

У загальному випадку можна виділити три типові завдання планування експерименту.

Розкриття механізму явища, тобто знаходження такого аналітичного вираження яке в області можливих значень факторів х_i досить точно збігається з невідомою залежністю f (x).

Визначення екстремуму функції в області її визначення.

Вибір відповідної моделі для опису об'єкту або визначення параметрів відомої функціональної залежності.

Планування експерименту можна застосувати безпосередньо до фізичного об'єкту та по спеціально поставленої серії фізичних експериментів побудувати спрощену модель.При цьому має бути точно визначений критерій оптимізації, незалежні змінні і діапазон їх зміни, а також ряд обмежень у вигляді рівностей і нерівностей, що й утворює спрощену модель розглянутого об'єкта.Цей шлях використовують при дослідженні порівняно нескладних об'єктів. Основним його недоліком є трудомісткість проведення фізичних експериментів, дорога вимірювальна апаратура, необхідність виготовлення декількох фізичних моделей об'єкта.

Дослідження з оптимізації можуть бути виконані на повній математичної моделі досліджуваного об'єкта, складеної з урахуванням всіх тих явищ,

які лежать в основі його роботи. З розвитком ЕОМ чисельних методів цей шлях набуває все більшого поширення. Однак, навіть для відносно простих фізичних об'єктів математична модель представляє собою нелінійну систему диференціальних рівнянь, часто включаючи рівняння в приватних похідних, і пошук поєднання незалежних змінних, що забезпечує оптимальне значення критерію оптимізації, вимагає насамперед перевірки адекватності моделі і, потім, досить великої кількості чисельних експериментів.

Поєднання першого і другого шляху дозволяє в більшості випадків побудувати спрощену модель при мінімальній кількості фізичних та чисельних експериментів. Стратегія дослідження в цьому випадку полягає в наступному: будується, по можливості, повна математична модель і за результатами найбільшого числа фізичних дослідів визначають її адекватність, потім здійснюється планування експерименту, проводиться додаткова серія чисельних експериментів при певному поєднанні факторів, і з урахуванням першої та другої серії будується апроксимаційний модель об'єкта. На апроксимаційний моделі виконуються оптимізаційні дослідження.

При використанні методу Боксу-Уїлсона функцію оптимізації представляють у вигляді степеневого ряду. Грамотно спроектований об'єкт має конструктивні і робочі характеристики близькі до оптимальних, тобто область оптимізації функції є майже стаціонарної.

Тому для опису функції оптимізації використовують поліном другого порядку:

де b₀ ,b_i, b_ij – коефіцієнти рівняння регресії;

x_i, x_j – варійовані фактори.

Процес планування експерименту можна розбити на кілька етапів, частина з яких повністю формалізована, а частина заснована на емпірику-інтуїтивному підході. Побудова плану експерименту передує важливий етап прийняття саме інтуїтивних рішень з вибору факторів і області планування. У розгляд слід внести всі фактори, які можуть суттєво впливати на характеристики об'єкта.

Вибрані фактори повинні бути доступні вимірюванню з точністю приблизно на порядок більше ніж вимір вихідної величини. Крім того, фактори повинні бути незалежними величинами.

При визначенні кордону області визначення факторів повинні враховуватися обмеження трьох типів: фізичні, техніко-економічні та технологічні.

Зазвичай процес дослідження починається в умовах, коли є деяка апріорна інформація про об'єкт. Її аналіз дозволяє визначити такі значення факторів, при яких виходять результати близькі до оптимальних. Цю точку при плануванні розглядають як нульовий рівень. Побудова плану експерименту зводиться до вибору точок симетричних щодо нульового рівня.

Обраний нульовий рівень повинен відповідати наступним вимогам:

Значення функції відгуку в цій точці повинно бути найкращим з усіх відомих;

Координати нульового рівня повинні лежати усередині області визначення.

Наступний етап - це вибір інтервалу варіювання факторів. При виборі інтервалу варіювання слід врахувати, що він не може бути менше тієї помилки, з якою фіксується рівень фактора, і не може бути настільки великим, щоб верхній і нижній рівні опинилися за межами області визначення. У всіх випадках, чим нижче точність вимірювання і чим менше кривизна поверхні відгуку, тим ширше повинен бути інтервал варіювання.

Зазвичай для спрощення запису умов експерименту та обробки результатів масштаби по осях вибирають так, щоб нижній рівень відповідав - 1, верхній +1, а основний - 0. Це робиться за допомогою кодування факторів:

де - кодоване значення фактора;

Х_i- фізичне значення фактора;

Х_i0 – основний рівень;

інтервал варіювання.

Після вибору основних рівнів і інтервалів варіювання кожного фактора приступають до побудови плану експерименту.

План експерименту залежить від поставленої дослідником мети. Якщо кінцевою метою є тільки знаходження точки оптимуму на поверхні відгуку, застосовують плани руху по градієнту. Рух до області оптимуму можна здійснювати і за допомогою симплексного методу планування. Він дає менш глибоке опис об'єкта, але зате в умовах високих шумів і великого числа факторів послідовне симплексного планування часто дозволяє досягти області оптимуму швидше, ніж метод руху по градієнту.

При дослідженнях екстремальної області часто інтерес представляє сама функція відгуку, яка дозволяє знайти оптимальні або близькі до них поєднання факторів, що відповідають реальним фізичним значенням у досліджуваного об'єкта. Для цього використовують плани, в яких реалізуються всі можливі сполучення рівнів факторів (повний факторний експеримент-ПФЕ). У майже стаціонарної області кожен фактор варіюється на трьох рівнях і число дослідів, необхідне для реалізації всіляких поєднань, равно , де n - число факторів.

При великій кількості чинників реалізації ПФЕ стає практично неможливим, і в цьому випадку будують дробові факторні експерименти (ДФЕ), що представляють собою дробові репліки повного факторного експерименту.

Матриці ПФЕ і ДФЕ мають ряд властивостей:

Ортогональність, що забезпечує незалежність оцінок коефіцієнтів рівняння регресії.

Симетричність, що забезпечує незалежність вільного члена рівняння регресії.

Нормування, що забезпечує однакову дисперсію оцінки коефіцієнтів.

На практиці можна значно спростити регресійну модель шляхом повороту координатних осей. Це дозволяє здійснити рентабельне планування, що забезпечує погрішність визначення вихідної величини по рівнянню регресії, що залежить лише від відстані точки факторного простору до центру експерименту, тобто передбачати з однаковою точністю значення функції відгуку.

Матриця планування, фактори, нормування

Як варійовані фактори виберемо: діаметр сопла d_с і діаметр жорсткого центру d_ц які як показали літературні джерела та експерименти, визначають ефективність роботи елементу. Підсумок варіювання і основний рівень кожного фактора наведено в таблиці 1, а в таблиці 2 наведена матриця планування експерименту.

Вихідні дані. Кодування факторів.

	-1.41	-1	0	1	1.41
dс, мм	1.3	1.5	2	2.5	2.7
dц, мм	13	15	20	25	27

Матриця планування

№ досвіду	X1	X2	Y
1	-1	-1	0.004
2	-1	1	0.0032
3	1	-1	0.0046
4	1	1	0.0041
5	-1.41	0	0.0035
6	1.41	0	0.0043
7	0	-1.41	0.0048
8	0	1.41	0.036

Використовуючи отримані кодовані фактори розраховуємо час перехідного процесу, враховуючи що він дорівнює часу досягнення 0.95% від встановленого тиску. Нижче приведенні перехідні процеси для матриці планування.

Рівняння регресії позову у вигляді:

,

Рис. 4.1. Тривимірне зображення функції відгуку

№ опыта	X1	X2	yоп	урас
1	1	1	0,004	0,0061
2	1	-1	0,0032	0,0065
3	-1	1	0,0046	0,0078
4	-1	-1	0,004	0,0035
5	0	0	0,0035	0,0041
6	1	0	0,0043	0,006
7	-1	0	0,0048	0,0054
8	0	1	0,0036	0,0063
9	0	-1	0,003	0,0045