3.2. Классификация изолированных особых точек

Точка называется изолированной особой точкой функции , если аналитическая в “проколотой” окрестности точки , т.е. на множестве , а точка является особой точкой функции .

Другими словами, точка z₀ называется изолированной особой точкой функции , если существует такая окрестность точки , в которой нет других особых точек функции .

Классификация изолированных особых точек следующая: устранимая особая точка, полюс порядка , существенно особая точка.

Замечание. Бесконечно удаленная особая точка является изолированной особой точкой для функции , если существует окрестность точки , в которой нет других особых точек, за исключением бесконечно удаленной точки. Другими словами, у функции не существует неограниченно возрастающей последовательности особых точек. Чтобы определить характер изолированной особой точки для функции нужно выполнить замену переменной и определить характер для функции , который совпадает с характером точки для функции . Поэтому достаточно научиться определять характер конечной точки.

Если главная часть ряда Лорана (3.1.1) функции в окрестности изолированной особой точки отсутствует, то называется устранимой особой точкой.

Другими словами, - устранимая особая точка в окрестности точки .

В этом случае существует . Если функция не определена в точке , то ее можно доопределить по непрерывности, положив .

Пример 3.2.1. Для функции найти все особые точки и определить их характер.

Решение. Функция имеет единственную конечную особую точку . Разложим в ряд Лорана функцию в окрестности точки , используя известное разложение,

.

Поскольку главная часть отсутствует, - это устранимая особая точка.

Для определения характера точки , полагаем , получим:

. Так как главная часть ряда Лорана содержит бесконечное число членов, то - это существенно особая точка, а, следовательно, - существенно особая точка.

Полюс порядка . Нули функции

Если главная часть ряда Лорана функции в окрестности ее изолированной особой точки содержит конечное число членов: для всех , причем , то - называется полюсом порядка .

В окрестности полюса верно представление

, где аналитическая в окрестности точки функция, причем .

Из такого представления функции вблизи полюса порядка видно, что неограниченно возрастает при стремлении к . Обратно: Если изолированная особая точка и (независимо от способа стремления к ), то - полюс .

Точка - нуль -го порядка функции , если , . В нуле -го порядка и .

Пример 3.2.2. Для функции найти нули и определить их порядок.

Решение. Нулями функции будут числа , где - любое целое число. Находим производные до тех пор, пока не встретится производная, для которой не являются нулями. В данном случае, , . Отсюда являются нулями второго порядка.

Характер особой точки для функции . Пусть точка является нулем порядка для функции и нулем порядка для функции , тогда является для функции полюсом порядка , если , устранимой особой точкой, если , нулем порядка , если .

Пример 3.2.3. Для функции найти все особые точки и определить их характер.

Решение. Сначала находим нули знаменателя. Нулями функции будут числа , где - любое целое число. В примере 3.2.2 было установлено, что являются нулями второго порядка. Однако точка является также нулем первого порядка для числителя. Отсюда делаем вывод, что является простым полюсом для функции , а при - полюсы второго порядка. Точка не является изолированной особой точкой, поскольку . Поэтому характер точки не определяется.

Существенно особая точка

Точка называется существенно особой точкой функции , если главная часть ряда Лорана функции в окрестности ее изолированной особой точки содержит бесконечно много членов, т.е. бесконечное число коэффициентов в разложении (3.1.1).

Пример 3.2.4. Для функции определить характер точки .

Решение. Используя известное разложение , находим разложение .Так как главная часть содержит бесконечное число членов, то точка является существенно особой точкой. 

Пример 3.2.5. Определить характер для функции .

Решение. Выполнив замену переменной , получим функцию . Определим характер точки . Как было показано в примере 3.2.4 точка является существенно особой точкой для функции . Поэтому также является существенно особой точкой для функции . 

Пример 3.2.6. Определить характер для следующих функций: а) ; б) ; в) .

Решение. Полагая , получим: ; .

а) Точка является нулем восьмого порядка функции , следовательно, точка - нуль восьмого порядка заданной функции.

б) Точка - полюс четвертого порядка функции , поэтому точка является полюсом четвертого порядка для данной функции.

в) Разлагая заданную функцию в степенной ряд, получим . Таким образом, - существенно особая точка функции .

8.0.1.Определить характер всех конечных особых точек а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж). ; з) .

8.0.2. Доказать, что , если .

Ответы

8.0.1.а) z=0 – полюс второго порядка; б) , – полюсы первого порядка; в) – полюсы второго порядка; г) – существенно особая точка; д) – существенно особая точка; е) – существенно особая точка; ж) , - нуль первого порядка; , – полюсы первого порядка; з) – полюс второго порядка.