2.3. Функциональные ряды

Сходящийся в области функциональный ряд называется равномерно сходящимся в этой области, если для  любого найдется число такое, что для остатка функционального ряда при всех и  одновременно имеет место оценка .

Признак Вейерштрасса. Пусть функциональный ряд сходится области и пусть существует сходящийся знакоположительный числовой ряд такой, что для всех и для всех , начиная с некоторого номера, члены ряда удовлетворяют условию . Тогда ряд сходится абсолютно и равномерно в области .

Пример 2.3.1. Исследовать абсолютную и равномерную сходимость по признаку Вейерштрасса .

Решение. При ряд сходится. Поэтому, без ограничения общности можно предполагать, что . Тогда сходимость ряда равносильна сходимости ряда .

Так как

, то при или достигается минимум для знаменателя, а, следовательно, максимум для дроби. Поэтому

.

Ряд сходится как ряд Дирихле с показателем степени . Отсюда исходный ряд сходится абсолютно и равномерно по признаку Вейерштрасса при всех значениях переменной.

Степенные ряды

Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится в точке , то он абсолютно сходится для всех , таких, что , причем сходимость будет равномерной в любом замкнутом круге . Если же ряд расходится в точке , то он расходится и для всех таких, что .

Замечание. а) Из теоремы Абеля следует существование круга сходимости.

б) Из признака Вейерштрасса следует: если степенной ряд абсолютно сходится и на границе круга сходимости, то сходимость равномерная внутри всего замкнутого круга сходимости.

Пример 2.3.2. Найти область абсолютной сходимости ряда . В каком круге данный ряд равномерно сходится?

Решение. Выполним замену переменной . Тогда ряд примет вид

.

Составим ряд из модулей , к которому применим признак Даламбера. Для этого найдем .

По признаку Даламбера ряд абсолютно сходится, если . Отсюда радиус сходимости степенного ряда равен . Исследуем абсолютную сходимость на границе круга сходимости. Если , то ряд - это гармонический ряд , который, как известно, расходится. Поэтому по теореме Абеля ряд равномерно сходится . Заметим, что при ряд сходится, на основании признака Абеля - Дирихле (полагая ( )), а

, .

.

Возвращаясь к исходной переменной, запишем ответ: абсолютно сходится, равномерно сходится.

Пример 2.3.3. Найти область абсолютной сходимости . В каком круге данный ряд равномерно сходится?

Решение. Выполним замену переменной . Тогда ряд примет вид . Составим ряд из модулей , к которому применим признак Даламбера. Для этого найдем .

По признаку Даламбера ряд абсолютно сходится, если . Отсюда радиус сходимости степенного ряда равен . Исследуем абсолютную сходимость на границе круга сходимости. Если , то ряд - это сходящийся ряд Дирихле . Поэтому по признаку Вейерштрасса ряд равномерно сходится, если . Возвращаясь к исходной переменной, запишем ответ: в круге абсолютно и равномерно сходится. 

Ряды Маклорена

Разложения основных элементарных функций:

, ; , ; , ; , ; , ; , .

Замечание. Используя разложения основных элементарных функций, а также возможность почленного дифференцирования и интегрирования степенных рядов, можно найти разложение некоторых функций по степеням .

Пример 2.3.4. Используя разложение , а также возможность почленного интегрирования степенных рядов, разложить функцию по степеням и указать область сходимости полученного ряда.

Решение. Как известно, . Поэтому , следовательно, .

Отсюда

.

Область сходимости для полученного ряда как и для разложения в ряд - вся комплексная плоскость, т.е. .

Пример 2.3.5. Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки функцию . Найти радиус сходимости ряда.

Решение. Разложим данную функцию на элементарные дроби методом неопределенных коэффициентов:

.

Из тождества , полагая последовательно , находим

т.е.

.

Преобразуем правую часть равенства следующим образом:

.

Используя разложение функции , получим

Радиус сходимости можно определить двумя способами. Ряд в первой скобке сходится в круге , ряд во второй скобке в круге . Оба ряда сходятся в круге , поэтому радиус сходимости R=1.

Второй способ определения R следует из формулы для

.

Радиус сходимости R равен расстоянию от центра круга до ближайшей точки при которой знаменатель обращается в нуль. В нашем случае , а точка . Поэтому радиус сходимости равен .

Пример 2.3.6. Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки функцию .

Решение. Преобразуем данную функцию следующим образом:

.

Используя разложение для получим.

Ряд сходится в круге .

При разложении в ряды Тейлора отношения двух функций, ряды Тейлора которых известны, полезно применять метод неопределенных коэффициентов. Суть метода рассмотрим на конкретном примере. Теоретической основой метода является единственность разложения функции в ряд Тейлора.

Пример 2.3.7. С помощью метода неопределенных коэффициентов найти первые три отличные от нуля члена разложения функции f(z)=tgz в окрестности точки z=0.

Решение. . По методу неопределенных коэффициентов, справедливо равенство .

Здесь ,…- неопределенные коэффициенты.

Так как функция tg z, нечетная, то .

Учитывая известные разложения для функций sinz, cosz получим тождество:

.

После преобразований, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях z, получим уравнения для неизвестных коэффициентов :

Решая эту систему, получим .

В задачах 6.0.1 – 6.0.3 найти область абсолютной сходимости

6.0.1. . 6.0.2. . 6.0.3. .

В задачах 6.0.4, 6.0.5 найти область сходимости.

6.0.4. . 6.0.5. .

В задачах 6.0.6 - 6.0.9 найти область абсолютной сходимости ряда и указать круг, в котором ряд равномерно сходится.

6.0.6. ; 6.0.7. ; 6.0.8. ;

6.0.9. .

6.0.10. Используя разложения элементарных функций, разложить в ряды Тейлора заданные функции и найти радиусы сходимости

а) sin 2 z; б) cos 3 z; в) ; г) ;

д) ; е) ln (2–z), ; ж) ;

з) ; и) ; к) ; л) .

6.0.11. С помощью метода неопределенных коэффициентов найти первые три отличные от нуля члена разложения функций в ряд Тейлора, полагая

м) ; н) .

Ответы

6.0.1. |z|>5. 6.0.2. |z+1|> 1/3. 6.0.3. 1 < |z| < 2.

6.0.4. z|≤1 за исключением точки z= -1. 6.0.5. Вся комплексная плоскость. 6.0.6. На всей комплексной плоскости сходится абсолютно и при равномерно сходится. 6.0.7. На всей комплексной плоскости сходится абсолютно и при равномерно сходится. 6.0.8. абсолютно сходится, равномерно сходится. 6.0.9. абсолютно и равномерно сходится.

6.0.10. а) б)

в) г)

д) е)

ж) з)

и) к) л) 6.0.11. м) н)