Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
pos_prac.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.05.2025
Размер:
4.05 Mб
Скачать

2.2. Условная сходимость

Теорема Лейбница. Если и для всех , то знакочередующийся ряд сходится. При этом для всех - модуль -ого остатка ряда не превышает модуля следующего члена ряда.

Пример 2.2.1. Проверить выполнение условий теоремы Лейбница для ряда . В случае положительного ответа оценить .

Решение. Вычисляем . Кроме того, последовательность монотонно убывает. Следовательно, все предположения теоремы Лейбница выполнены. Поэтому справедлива оценка остатка ряда по модулю

. 

Абсолютная сходимость числового ряда. Если ряд из модулей сходится, то исходный ряд называется абсолютно сходящимся.

Условная сходимость числового ряда. Если ряд сходится, а ряд из модулей расходится, то исходный ряд называется условно сходящимся.

Пример 2.2.2. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Для исследования абсолютной сходимости рассмотрим ряд . Как известно (пример 2.1.10), гармонический ряд расходится. Поэтому у исходного ряда нет абсолютной сходимости. Однако как показано в примере 2.2.1 исходный ряд удовлетворяет предположениям теоремы Лейбница. Поэтому ряд сходится. 

Для проверки условной сходимости, помимо признака Лейбница, применяются также следующий признак:

Признак Абеля - Дирихле. Пусть дан ряд , в котором последовательность монотонно стремится к , а последовательность частичных сумм ряда равномерно ограничена, тогда ряд - сходится.

Пример 2.2.3. Для произвольно заданного вещественного числа доказать равномерную ограниченность последовательности частичных сумм ряда .

Решение. Заметим, что . Поэтому для частичной суммы имеет место равенство .

Как показано в примере 2.1.1 для частичной суммы геометрической прогрессии (независимо от знаменателя) справедливо равенство:

.

Поэтому

. Следовательно,

. Отсюда при всех .

Замечание. Аналогичная оценка имеет место для последовательности частичных сумм ряда при .

Пример 2.2.4. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Как показано в примере 2.1.5 ряд расходится. Поэтому расходится ряд .

Отсюда нет абсолютной сходимости у ряда . Исследуем условную сходимость по признаку Абеля – Дирихле. Как показано в примере 2.2.3, частичные суммы ряда равномерно ограничены числом . Кроме того, последовательность монотонно стремится к . Следовательно, ряд сходится по признаку Абеля – Дирихле. 

В задачах 5.0.1 – 5.0.6 исследовать абсолютную сходимость числового ряда с общим членом un.

5.0.1. un= (-1)n+1/(2n-1) . 5.0.2. un= (-1)n+1/(2n-1)3.

5.0.3. un= (-1)n+1n/(n+1) . 5.0.4. un=(-1)n+1/nα, α>0

5.0.5. un=(-1)n+1/ln(n+1). 50.6. un= (-1)n+1/n(n+1).

Ответы

5.0.1. Сходится условно. 5.0.2. Сходится абсолютно.

5.0.3. Расходится. 5.0.4. Сходится абсолютно при α>1; Сходится условно при 0<α≤1; Расходится при α≤0.

5.0.5. Сходится условно. 5.0.6. Сходится абсолютно.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]