
- •Содержание
- •1. Основные понятия теории функций комплексной переменной
- •1.1. Комплексные числа. Основные элементарные функции комплексной переменной
- •1. 2. Условия Коши – Римана. Аналитические функции
- •1.3. Интеграл от функции комплексной переменной
- •2. Ряды
- •2.1. Сумма числового ряда. Признаки абсолютной сходимости
- •В случае ряд сходится,
- •В случае ряд расходится и не выполнено необходимое условие сходимости,
- •В случае ничего сказать нельзя.
- •2.2. Условная сходимость
- •2.3. Функциональные ряды
- •3. Особые точки и разложения в ряды
- •3.2. Классификация изолированных особых точек
- •4. Теория вычетов
- •4.1. Вычет
- •4.2. Применение вычетов к вычислению интегралов
- •5. Элементы операционного исчисления
- •5.1. Понятие оригинала и изображения
- •Теорема разложения:
- •5.2. Восстановление оригинала по изображению
- •1. Линейные дифференциальные уравнения
- •2. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
2.2. Условная сходимость
Теорема Лейбница.
Если
и
для всех
,
то знакочередующийся
ряд
сходится. При этом для всех
- модуль
-ого
остатка ряда не превышает модуля
следующего члена ряда.
Пример 2.2.1. Проверить
выполнение условий теоремы Лейбница
для ряда
.
В случае положительного ответа оценить
.
Решение. Вычисляем
.
Кроме того, последовательность
монотонно убывает. Следовательно, все
предположения теоремы Лейбница
выполнены. Поэтому справедлива оценка
остатка ряда по модулю
.
Абсолютная
сходимость
числового ряда. Если ряд из модулей
сходится, то исходный ряд
называется абсолютно сходящимся.
Условная сходимость числового ряда. Если ряд сходится, а ряд из модулей расходится, то исходный ряд называется условно сходящимся.
Пример 2.2.2. Исследовать сходимость ряда .
Решение. Для
исследования абсолютной сходимости
рассмотрим ряд
.
Как известно (пример 2.1.10), гармонический
ряд
расходится. Поэтому у исходного ряда
нет абсолютной сходимости. Однако как
показано в примере 2.2.1 исходный ряд
удовлетворяет предположениям теоремы
Лейбница. Поэтому ряд
сходится.
Для проверки условной сходимости, помимо признака Лейбница, применяются также следующий признак:
Признак Абеля
- Дирихле.
Пусть дан ряд
,
в котором последовательность
монотонно стремится к
,
а последовательность частичных сумм
ряда
равномерно ограничена, тогда ряд
- сходится.
Пример 2.2.3. Для
произвольно заданного вещественного
числа
доказать равномерную ограниченность
последовательности частичных сумм
ряда
.
Решение. Заметим,
что
.
Поэтому для частичной суммы имеет место
равенство
.
Как показано в примере 2.1.1 для частичной суммы геометрической прогрессии (независимо от знаменателя) справедливо равенство:
.
Поэтому
.
Следовательно,
.
Отсюда
при всех
.
Замечание.
Аналогичная оценка имеет место для
последовательности частичных сумм
ряда
при
.
Пример 2.2.4.
Исследовать сходимость ряда
.
Решение. Как
показано в примере 2.1.5 ряд
расходится. Поэтому расходится ряд
.
Отсюда нет
абсолютной сходимости у ряда
.
Исследуем условную сходимость по
признаку Абеля – Дирихле. Как показано
в примере 2.2.3, частичные суммы ряда
равномерно ограничены числом
.
Кроме того, последовательность
монотонно стремится к
.
Следовательно, ряд
сходится по признаку Абеля – Дирихле.
В задачах 5.0.1 – 5.0.6 исследовать абсолютную сходимость числового ряда с общим членом un.
5.0.1. un= (-1)n+1/(2n-1) . 5.0.2. un= (-1)n+1/(2n-1)3.
5.0.3. un= (-1)n+1n/(n+1) . 5.0.4. un=(-1)n+1/nα, α>0
5.0.5. un=(-1)n+1/ln(n+1). 50.6. un= (-1)n+1/n(n+1).
Ответы
5.0.1. Сходится условно. 5.0.2. Сходится абсолютно.
5.0.3. Расходится. 5.0.4. Сходится абсолютно при α>1; Сходится условно при 0<α≤1; Расходится при α≤0.
5.0.5. Сходится условно. 5.0.6. Сходится абсолютно.