1.3. Интеграл от функции комплексной переменной

Пусть дуга направленной кусочно-гладкой кривой задана параметрическим уравнением . Пусть - начальная точка и - конечная точка дуги. Тогда .

Пример 1.3.1. Вычислить , где - отрезок прямой от точки до точки .

Решение. Параметрическое задание отрезка: с . Отсюда , .

.

Пример 1.3.2. Вычислить , где - любое целое число.

Решение. Поскольку дуга – это окружность, целесообразно следующее параметрическое задание , .

Поэтому

Так как , то окончательно получим



Замечание. Значение интеграла не зависит от .

Если функция является аналитической в односвязной области, где расположена дуга , то существует первообразная функции , т.е. . В этом случае справедлива формула Ньютона - Лейбница

, где , - начальная и конечная точки дуги соответственно.

Пример 1.3.3. Вычислить , где - отрезок прямой от точки до точки .

Решение. Функция является аналитической функцией с первообразной . Поэтому воспользуемся формулой Ньютона -Лейбница

.

Теорема Коши для односвязной области. Если - аналитическая функция в односвязной области , а - замкнутый контур в , то .

Пример 1.3.4. Вычислить .

Решение. Заметим, что функция - аналитическая на всей комплексной плоскости. Поэтому в силу теоремы Коши для односвязной области этот интеграл равен нулю.

Интегральная формула Коши для односвязной области

Пусть - аналитическая функция в односвязной области . Пусть точка , - простой замкнутый контур в , охватывающий точку . Тогда

.

Пример 1.3.5. Вычислить интеграл .

Решение. Функция - аналитическая на всей комплексной плоскости. Поэтому по интегральной формуле Коши интеграл равен .

3.0.1. Пусть однозначная функция определена и непрерывна в области и - кусочно- гладкая ориентированная кривая, лежащая в .

Пусть , , где , - действительные функции переменных и . Доказать, что вычисление интеграла от функции комплексной переменной сводится к вычислению криволинейных интегралов:

.

3.0.2. Докажите, что если функция f(z) – однозначная, аналитическая в многосвязной области G с границей и внутренними контурами и непрерывна в замкнутой области , тогда имеет место равенство:

, где ,

или

.

(Теорема Коши для многосвязных областей).

Указание. Путем построения вспомогательных линий свести к случаю односвязной области.

3.0.3. С помощью интегральной формулы Коши вычислить интегралы.

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

ж) ; з) ; и) ;

к) ; л) ; м) ;

н) ; о) ; п) ;

р) ; с) ; т) .

4. Вычислить , где Г – отрезок, соединяющий точки .

3.0.5. Вычислить , где - дуга окружности , .

В задачах 3.0.6 – 3.0.13 вычислить интеграл .

3.0.6. Функция f(z) = y + xi , С - ломаная линия ОАВ с вершинами в

точках z_O= 0 , z_A= i , z_B= 1 + i .

3.0.7. Функция f(z) = z² , C=AB – отрезок прямой, соединяющий точки

z_A = 1 и z_B = i .

3.0.8. Функция f(z) = ­x – yi , С – замкнутый контур | z | = 1.

3.0.9. Функция f(z)= (1-2x) + i(1+2y) , C=AB - линия соединяющая точ- ки А и В ( z_A=0 , z_B= 1 + i ) а) по прямой, б) по параболе у = х² , в) по ломаной AMB, где z_M=1 .

3.0.10. Функция f(z) = zImz² , где - дуга окружности , .

3.0.11. Функция f(z) = zRez , C - | z | = 1 , обход в положительном на правлении.

3.0.12. Функция f(z)=Rez, C=AB – линия соединяющая точки А и В ( , ) : а) по прямой , б) по ломаной АМВ , где z_M = 2 .

3.0.13. Функция f(z) = e^z , C=AB ( z_A = 0 , z_B = 1+ i ) а) дуга параболы y = x ² , б) отрезок прямой.

Ответы

3.0.3. а) б) в)0; г) д) е) ж) з) и) к) л) м) н) о)0; п)0; р) с) т) 3.0.4. 1; 3.0.5. ; 3.0.6. 1 + i; 3.0.7. –(1+i)/3; 3.0.8. 2πi; 3.0.9. a) 2(i-1) ; б) -2 + 4i/3; в)-2 ; 3.0.10. –π/2; 3.0.11. 0; 3.0.12. а) 2 + i ; б)6 + 2i; 3.0.13. а) ecos1 – 1 + iesin1; б) ecos1 – 1 + iesin1.