1. 2. Условия Коши – Римана. Аналитические функции
Функция
дифференцируема
в точке
(
-
область), если существует предел
(
).
Указанный предел называется производной
функции
в точке
и обозначается
.
Если функция
дифференцируема в точке
,
то существуют частные производные
,
,
,
,
причем они связаны условиями
Коши - Римана:
;
.
(1.2.1)
Обратно: Если в
точке
функции
и
дифференцируемы как функции двух
вещественных переменных
,
и первые частные производные этих
функций в точке
связаны условиями Коши - Римана, то
дифференцируемая функция в точке
.
Пример 1.2.1. Выяснить,
в каких точках дифференцируема функция
.
Решение. В функцию
подставим
.
Получим
.
Следовательно,
,
в представлении
.
Проверим условия
Коши - Римана. Имеем
,
,
,
.
Из формулы (1.2.1) следует, что условия
Коши – Римана выполнены в одной точке
.
Так как функции
,
дифференцируемы в точке
,
то функция
дифференцируема в единственной точке
.
Функция
называется аналитической
функцией в области
,
если она дифференцируемая
во всех точках
и ее производная
непрерывна
в этой области
.
Действительная
и мнимая части аналитической функции
– гармонические
функции, т.е. удовлетворяют уравнению
Лапласа
,
.
Пример
1.2.2. Проверить гармоничность функции
и
в случае положительного ответа
восстановить аналитическую функцию
по данной ее действительной части.
Решение.
Вычисляем частные производные функции
:
;
;
;
.
Преобразуем
.
Таким
образом,
.
Функция - гармоническая всюду, за исключением точки и является действительной частью аналитической функции.
Из условий Коши - Римана (1.2.1) восстановим мнимую часть:
.
Поэтому
.
С
другой стороны,
.
Отсюда
и
,
.
Имеем
.
Полагая
в последнем равенстве
,
,
,
восстанавливаем функцию
.
Замечание. Проверку
гармоничности функции в примере 1.2.2
лучше проводить в полярных координатах,
приняв во внимание, что уравнение
Лапласа в полярных координатах
имеет вид
2.0.1.
Записать условие Коши-Римана в полярных
координатах
.
2.0.2.
Пользуясь условиями Коши-Римана,
выяснить, какие из функций являются
аналитическими: а)
; б)
; в)
;
г)
;
д)
;
е)
; ж)
.
2.0.3. Восстановить аналитическую функцию f (z) по известной действительной или мнимой части.
а)
; б)
;
в)
;
г)
.
д)
;
е)
.
Ответы
2.0.1.
2.0.2. а) не является; б) является; в) не является; г) является; д) является; е) является; ж) является.
2.0.3.
а)
б)
в)
г)
д)
е)